- •Глава 1
- •§ 2. Электрические и магнитные поля
- •§ 3. Характеристики векторных полей
- •§ 4. Законы электромагнетизма
- •§ 5. Что это такое — «поля»?
- •§ 6. Электромагнетизм в науке и технике
- •Дифференциальное исчисление векторных полей
- •§ 2. Скалярные и векторные поля — т и h
- •§ 3. Производные полей — градиент
- •Выбрав удобную систему координат, мы можем написать
- •§ 4. Оператор
- •§ 5. Операции с
- •У равнения Максвелла
- •§ 6. Дифференциальное уравнение потока тепла
- •Е сли площадь этой плиты а, то поток тепла за единицу времени равен
- •§ 7. Вторые производные векторных полей
- •§ 8. Подвохи
- •§ 2. Поток векторного поля
- •§ 3. Поток из куба; теорема Гаусса
- •§ 4, Теплопроводность; уравнение диффузии
- •§ 5. Циркуляция векторного поля
- •§ 6. Циркуляция по квадрату; теорема Стокса
- •§ 7. Поля без роторов и поля без дивергенций
- •§ 8. Итоги
- •Магнитостатика
- •§ 2. Закон Кулона; наложение сил
- •Закон Кулона
- •§ 3. Электрический потенциал
- •Э лектростатический потенциал
- •§ 5. Поток поля е
- •§ 6. Закон Гаусса; дивергенция поля е
- •§ 7. Поле заряженного шара
- •§ 8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности
- •§ 2. Равновесие в электростатическом поле
- •§ 3. Равновесие с проводниками
- •§ 4. Устойчивость атомов
- •§ 5. Поле заряженной прямой линии
- •§ 6. Заряженная плоскость; пара плоскостей
- •§ 7. Однородно заряженный шар; заряженная сфера
- •§ 8. Точен ли закон Кулона?
- •§ 9. Поля проводника
- •§ 10. Поле внутри полости проводника
- •Электрическое поле в разных физических условиях
- •§ 2. Электрический диполь
- •§ 3. Замечания о векторных уравнениях
- •§ 4. Диполъный потенциал как градиент
- •§ 5. Дипольное приближение для произвольного распределения
- •§ 6. Поля заряженных проводников
- •§ 7. Метод изображений
- •§ 8. Точечный заряд у проводящей плоскости
- •§ 9. Точечный заряд у проводящей сферы
- •§ 10. Конденсаторы; параллельные пластины
- •§ 11. Пробой при высоком напряжении
- •§ 12. Ионный микроскоп
- •Электрическое поле в разных физических условиях (продолжение)
- •§ 2. Двумерные поля; функции комплексного переменного
- •§ 3. Колебания плазмы
- •§ 4. Коллоидные частицы в электролите
- •§ 5. Электростатическое поле сетки
- •§ 2. Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
- •§ 3. Электростатическая энергия ионного кристалла
- •§ 4. Электростатическая энергия ядра
- •§ 5. Энергия в электростатическом поле
- •§ 6. Энергия точечного заряда
- •§ 2. Электрические токи в атмосфере
- •§ 3. Происхождение токов в атмосфере
- •§ 4. Грозы
- •§ 5. Механизм распределения зарядов
- •§ 6. Молния
- •§ 2. Вектор поляризации р
- •§ 3. Поляризационные заряды
- •§ 4. Уравнения электростатики для диэлектриков
- •§ 5. Поля и силы в присутствии диэлектриков
- •§ 2. Электронная поляризация
- •§ 3. Полярные молекулы; ориентационная поляризация
- •§ 4. Электрические поля в пустотах диэлектрика
- •Следовательно, если поле внутри однородного диэлектрика мы назовем е, то можно записать
- •§ 5. Диэлектрическая проницаемость жидкостей; формула Клаузиуса — Моссотти
- •§ 6. Твердые диэлектрики
- •§ 7. Сегиетоэлектричество; титанат бария
- •Электростатические аналогии
- •§ 2. Поток тепла; точечный источник вблизи бесконечной плоской границы
- •§ 3. Натянутая мембрана
- •§ 4. Диффузия нейтронов; сферически-симметричный источник в однородной среде
- •§ 5. Безвихревое течение жидкости; обтекание шара
- •§ 6. Освещение; равномерное освещение плоскости
- •§ 7. «Фундаментальное единство» природы
- •Глава13
- •§ 2. Электрический ток; сохранение заряда
- •§ 3. Магнитная сила, действующая на ток
- •§ 4. Магнитное поле постоянного тока; закон Ампера
- •§ 5. Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи
- •§ 6. Относительность магнитных и электрических полей
- •§ 7. Преобразование токов и зарядов
- •§ 8. Суперпозиция; правило правой руки
- •§ 2. Векторный потенциал заданных токов
- •Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения
- •§ 3. Прямой провод
- •§ 4. Длинный соленоид
- •§ 5. Поле маленькой петли; магнитный диполь
- •§ 6. Векторный потенциал цепи
- •§ 7. Закон Био— Савара
§ 9. Точечный заряд у проводящей сферы
А какие еще поверхности, кроме плоскости, имеют простое решение? Самая простая из них — сфера. Попробуем определить поля вокруг металлической сферы с точечным зарядом q вблизи нее (фиг. 6.11). Придется поискать простую физическую задачу, для которой сфера есть эквипотенциальная поверхность. Если мы просмотрим те задачи, которые уже решены, то увидим, что у поля двух неравных точечных зарядов одна из эквипотенциальных поверхностей как раз и есть сфера. Отметим себе это! Если мы как следует подберем положение заряда-изображения и нужную его величину, может быть, тогда мы и сможем подогнать эквипотенциальную поверхность к нашей сфере.
Фиг. 6.11. Точечный заряд q наводит на заземленной проводящей сфере заряды, которые создают поле, такое же, как у заряда-изображения, помещенного в указанной точке.
Это и впрямь может быть сделано, если действовать по следующему рецепту.
Положим, что вы хотите, чтобы эквипотенциальная поверхность была сферой радиуса а с центром, отстоящим от заряда q на расстояние b. Поместите изображение заряда величины q'=-q(a/b) на радиусе, проходящем через заряд на расстоянии a2/b от центра. Потенциал сферы пусть будет нуль.
Математически причина состоит в том, что сфера есть геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Как следует из фиг. 6.11, потенциал в точке Р от зарядов q и q' пропорционален сумме
и будет равен нулю во всех точках, для которых
Если мы помещаем q' на расстоянии а2!b от центра, то отношение r2/r1 равно постоянной величине a/b. Тогда если
(6.31)
то сфера станет эквипотенциалью. Потенциал ее на самом деле будет равен нулю.
А что, если нам понадобится сфера с ненулевым потенциалом? Ведь он равен нулю только тогда, когда ее суммарный заряд случайно окажется равным q'! Конечно, если ее заземлить, то наведенные на ней заряды окажутся в точности такими, как надо. Ну, а если она заизолирована и мы не снабдили ее никаким зарядом? Или снабдили ее зарядом Qq'? Или она находится под напряжением, не равным нулю? Такие вопросы разрешаются сходу. Всегда ведь можно добавить в центр сферы точечный заряд q". По принципу наложения сфера всегда останется эквипотенциальной, а изменится только величина потенциала. Если у нас, скажем, есть проводящая сфера, предварительно разряженная и изолированная от всего, и мы поднесли к ней положительный заряд q, то суммарный заряд сферы останется равным нулю. Решение можно найти, взяв тот же, что и прежде, заряд-изображение q' и вдобавок к нему заряд в центре сферы, такой, что
(6.32)
Поля повсюду вне сферы будут получаться наложением полей от q, q' и q". Задача решена.
Теперь ясно, что между сферой и точечным зарядом q должна существовать сила притяжения. Она не пропадает, даже если сфера нейтральна, на ней нет никакого заряда. Откуда же берется притяжение? Когда вы подносите к проводящей сфере положительный заряд, то он притягивает отрицательные заряды на ближний конец сферы, положительные же оставляет на дальнем. А притяжение отрицательными зарядами перевешивает отталкивание положительными; в итоге остается притяжение. Силу его можно прикинуть, подсчитав силу, действующую на q в поле, созданном q' и q". Суммарная сила равна силе притяжения между зарядами q и q' = -(a/b)q на расстоянии b-(а2/b) плюс сила отталкивания q и заряда q" = +(a/b)q на расстоянии b.
Если вы в детстве любили разглядывать журнал, на обложке которого был показан мальчик, разглядывающий журнал, на обложке которого показан мальчик, разглядывающий журнал, на обложке которого..., то вас заинтересует и следующая задача. Две одинаковые сферы, одна с зарядом +Q, а другая с зарядом -Q, расположены на некотором расстоянии друг от друга. Какова сила притяжения между ними? Задача решается при помощи бесконечного количества изображений. Первое приближает каждую сферу зарядом в ее центре. Эти заряды создают свои изображения на другой сфере. У изображений в свою очередь есть свои изображения и т. д., и т. д., и т. д. Решение здесь — все равно что картинка на обложке. Сходится оно очень быстро.