- •Глава 1
- •§ 2. Электрические и магнитные поля
- •§ 3. Характеристики векторных полей
- •§ 4. Законы электромагнетизма
- •§ 5. Что это такое — «поля»?
- •§ 6. Электромагнетизм в науке и технике
- •Дифференциальное исчисление векторных полей
- •§ 2. Скалярные и векторные поля — т и h
- •§ 3. Производные полей — градиент
- •Выбрав удобную систему координат, мы можем написать
- •§ 4. Оператор
- •§ 5. Операции с
- •У равнения Максвелла
- •§ 6. Дифференциальное уравнение потока тепла
- •Е сли площадь этой плиты а, то поток тепла за единицу времени равен
- •§ 7. Вторые производные векторных полей
- •§ 8. Подвохи
- •§ 2. Поток векторного поля
- •§ 3. Поток из куба; теорема Гаусса
- •§ 4, Теплопроводность; уравнение диффузии
- •§ 5. Циркуляция векторного поля
- •§ 6. Циркуляция по квадрату; теорема Стокса
- •§ 7. Поля без роторов и поля без дивергенций
- •§ 8. Итоги
- •Магнитостатика
- •§ 2. Закон Кулона; наложение сил
- •Закон Кулона
- •§ 3. Электрический потенциал
- •Э лектростатический потенциал
- •§ 5. Поток поля е
- •§ 6. Закон Гаусса; дивергенция поля е
- •§ 7. Поле заряженного шара
- •§ 8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности
- •§ 2. Равновесие в электростатическом поле
- •§ 3. Равновесие с проводниками
- •§ 4. Устойчивость атомов
- •§ 5. Поле заряженной прямой линии
- •§ 6. Заряженная плоскость; пара плоскостей
- •§ 7. Однородно заряженный шар; заряженная сфера
- •§ 8. Точен ли закон Кулона?
- •§ 9. Поля проводника
- •§ 10. Поле внутри полости проводника
- •Электрическое поле в разных физических условиях
- •§ 2. Электрический диполь
- •§ 3. Замечания о векторных уравнениях
- •§ 4. Диполъный потенциал как градиент
- •§ 5. Дипольное приближение для произвольного распределения
- •§ 6. Поля заряженных проводников
- •§ 7. Метод изображений
- •§ 8. Точечный заряд у проводящей плоскости
- •§ 9. Точечный заряд у проводящей сферы
- •§ 10. Конденсаторы; параллельные пластины
- •§ 11. Пробой при высоком напряжении
- •§ 12. Ионный микроскоп
- •Электрическое поле в разных физических условиях (продолжение)
- •§ 2. Двумерные поля; функции комплексного переменного
- •§ 3. Колебания плазмы
- •§ 4. Коллоидные частицы в электролите
- •§ 5. Электростатическое поле сетки
- •§ 2. Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
- •§ 3. Электростатическая энергия ионного кристалла
- •§ 4. Электростатическая энергия ядра
- •§ 5. Энергия в электростатическом поле
- •§ 6. Энергия точечного заряда
- •§ 2. Электрические токи в атмосфере
- •§ 3. Происхождение токов в атмосфере
- •§ 4. Грозы
- •§ 5. Механизм распределения зарядов
- •§ 6. Молния
- •§ 2. Вектор поляризации р
- •§ 3. Поляризационные заряды
- •§ 4. Уравнения электростатики для диэлектриков
- •§ 5. Поля и силы в присутствии диэлектриков
- •§ 2. Электронная поляризация
- •§ 3. Полярные молекулы; ориентационная поляризация
- •§ 4. Электрические поля в пустотах диэлектрика
- •Следовательно, если поле внутри однородного диэлектрика мы назовем е, то можно записать
- •§ 5. Диэлектрическая проницаемость жидкостей; формула Клаузиуса — Моссотти
- •§ 6. Твердые диэлектрики
- •§ 7. Сегиетоэлектричество; титанат бария
- •Электростатические аналогии
- •§ 2. Поток тепла; точечный источник вблизи бесконечной плоской границы
- •§ 3. Натянутая мембрана
- •§ 4. Диффузия нейтронов; сферически-симметричный источник в однородной среде
- •§ 5. Безвихревое течение жидкости; обтекание шара
- •§ 6. Освещение; равномерное освещение плоскости
- •§ 7. «Фундаментальное единство» природы
- •Глава13
- •§ 2. Электрический ток; сохранение заряда
- •§ 3. Магнитная сила, действующая на ток
- •§ 4. Магнитное поле постоянного тока; закон Ампера
- •§ 5. Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи
- •§ 6. Относительность магнитных и электрических полей
- •§ 7. Преобразование токов и зарядов
- •§ 8. Суперпозиция; правило правой руки
- •§ 2. Векторный потенциал заданных токов
- •Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения
- •§ 3. Прямой провод
- •§ 4. Длинный соленоид
- •§ 5. Поле маленькой петли; магнитный диполь
- •§ 6. Векторный потенциал цепи
- •§ 7. Закон Био— Савара
§ 5. Циркуляция векторного поля
Мы хотим теперь рассмотреть ротор поля примерно так же, как рассматривали дивергенцию. Мы вывели теорему Гаусса, вычисляя интеграл по поверхности, хотя с самого начала отнюдь не было ясно, что мы будем иметь дело с дивергенцией. Откуда же можно было знать, что для ее получения надо интегрировать по поверхности? Этот результат вовсе не был очевиден. И столь же неоправданно мы сейчас вычислим другую характеристику поля и покажем, что она связана с ротором. На этот раз мы подсчитаем так называемую циркуляцию векторного поля. Если С — произвольное векторное поле, мы возьмем его составляющую вдоль кривой линии и проинтегрируем эту составляющую по замкнутому контуру. Интеграл называется циркуляцией векторного поля по контуру. Мы уже раньше в этой главе рассматривали криволинейный интеграл от . Сейчас мы то же самое проделываем с произвольным векторным полем С.
П усть Г — произвольный замкнутый контур в пространстве (воображаемый, разумеется). Пример мы видим на фиг. 3.7. Криволинейный интеграл от касательной составляющей С по контуру записывается в виде
(3.30)
Фиг. 3.7. Циркуляция вектора С но кривой Г есть криволинейный интеграл от Сt (касательной составляющей С).
Фиг. 3.8. Циркуляция по всему контуру есть сумма циркуляции по двум контурам: Г1=Гa+Гab и Г2=Гь+ГaЬ.
Заметьте, что интеграл берется по всему замкнутому пути, а не от одной точки до другой, как это делалось раньше. Кружочек на знаке интеграла должен нам напоминать об этом. Такой интеграл называется циркуляцией векторного поля по кривой Г. Название связано с тем, что первоначально так рассчитывали циркуляцию жидкости. Но название это, как и поток, было распространено на любые поля, даже такие, в которых «циркулировать» нечему.
Забавляясь той же игрой, как с потоком, мы можем показать, что циркуляция вдоль контура есть сумма циркуляции вдоль двух меньших контуров. Положим, что, соединив две точки (1) и (2) первоначальной кривой с помощью некоторой линии, мы разбили кривую на два контура Г1 и Г2 (фиг. 3.8). Контур Г1 состоит из Гa — части первоначальной кривой слева от (1) и (2) и «соединения» Гab . Контур Г2 состоит из остатка первоначальной кривой плюс то же соединение.
Циркуляция вдоль Г1 есть сумма интеграла вдоль Га и вдоль ГаЬ. Точно так же и циркуляция вдоль Г2 есть сумма двух частей, одной вдоль Гb, другой — вдоль Гab. Интеграл вдоль Гab для кривой Г2 имеет знак, противоположный тому знаку, который он имел для кривой Г1 , потому что направления обхода противоположны (в обоих криволинейных интегралах направления поворота нужно брать одни и те же).
Повторяя прежние аргументы, мы можем убедиться, что сумма двух циркуляции даст как раз криволинейный интеграл вдоль первоначальной кривой Г. Интегралы по Гab сократятся. Циркуляция по одной части плюс циркуляция вдоль другой равняется циркуляции вдоль внешней линии. Этот процесс разрезания большого контура на меньшие можно продолжить. При сложении циркуляции по меньшим контурам смежные части будут сокращаться, так что сумма их сведется к циркуляции вдоль единственного первоначального контура.
Теперь предположим, что первоначальный контур — это граница некоторой поверхности. Существует бесконечное множество поверхностей, границей которых служит все тот же первоначальный замкнутый контур. Наши результаты не зависят, однако, от выбора этих поверхностей. Сперва мы разобьем наш первоначальный контур на множество малых контуров, лежащих на выбранной поверхности (фиг. 3.9).
Фиг. 3.9. Некоторая поверхность, ограниченная контуром Г.
Поверхность разделена на множество маленьких участков, каждый примерно в форме квадрата. Циркуляция по Г есть сумма циркуляции по всем маленьким контурам.
Какой бы ни была форма поверхности, но если малые контуры сделать достаточно малыми, всегда можно будет считать каждый из них замыкающим достаточно плоскую поверхность. Кроме того, каждый из них можно сделать очень похожим на квадрат. И циркуляцию вокруг большого контура Г можно найти, подсчитав циркуляции по всем квадратикам и сложив их.