- •Основные обозначения
- •1 . Числовые множества
- •1.1 Множество натуральных чисел
- •2. Векторы в геометрической форме
- •2.2. Действия с векторами в геометрической форме
- •2.2.1. Сложение
- •2.2.2. Вычитание
- •2.2.3. Умножение на число (скаляр)
- •Условие коллинеарности векторов
- •3 . Метод координат
- •3.1. Понятие числовой оси
- •3.3.2. Расстояние между двумя точками
- •3.3.3. Деление отрезка в данном отношении
- •3.3.4. Косоугольная декартова система координат
- •3.3.5. Полярная система координат
- •3.3.6. Связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами
- •3.3.7. Параллельный перенос координатных осей
- •3.3.8. Поворот координатных осей
- •3.4. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
- •3.4.1. Расстояние между двумя точками
- •3.4.2. Деление отрезка в данном отношении
- •3.5. Проекция вектора на координатную ось
- •4. Умножение векторов
- •4.7. Условие ортогональности векторов
- •4.13. Условие коллинеарности векторов
- •4.17. Условие компланарности векторов
- •5 . Матрицы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Действия с матрицами
- •6. Определители
- •7. Обращение квадратных матриц
- •8. Ранг матрицы
- •9. Системы линейных уравнений
- •9.4.1. Теорема Крамера
- •9.4.2. Если система 8.4. - однородна, то она имеет ненулевое
- •9.5. Метод обратной матрицы
- •10. Векторы в координатной форме
- •10.1. Составляющая вектора по числовой оси
- •10.1.1. Составляющую вектора по числовой оси можно найти с помощью
- •10.1.2. В прямоугольной декартовой системе координат составляющие
- •1 0.2. Разложение вектора на составляющие по координатным осям
- •10.2.1. Любой вектор равен сумме всех своих составляющих по осям координат.
- •10.2.2. Для того, чтобы задать вектор, достаточно задать все его координаты.
- •10.2.3. Действия с векторами в координатной форме
- •11. Комплексные числа
- •12. Векторное n-мерное пространство
- •13. Собственные числа и собственные векторы
- •14. Векторы и системы линейных уравнений в экономике
- •14.1. Модель Леонтьева (основная задача межотраслевого баланса)
- •14.2. Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •Оглавление
14.2. Линейная модель обмена (модель международной торговли)
Рассмотрим n стран (n N): S1, S2, ..., Si, ..., Sn с известным национальным доходом x1, x2,..., xi, ..., xn соответственно.
Пусть aij - запланированная доля национального дохода страны Sj на покупку товаров у страны Si, ( ). Числа aij можно записать в виде матрицы
.
В этой задаче квадратную матрицу А называют структурной матрицей торговли.
Будем считать, что весь национальный доход каждой страны Si используется только на закупку товаров либо внутри самой страны ( ), либо на импорт из других стран ( ) . Естественно, что в матрице А элементы неотрицательны и в каждом столбце сумма всех элементов равна единице.
Из перечисленных выше условий следует, что сбалансированная торговля возможна только при условии . При получим систему линейных уравнений, которую в матричной форме можно записать как (*) , где А -структурная матрица торговли, а - вектор национальных доходов по странам.
Из уравнения следует, что вектор Х можно рассматривать, как собственный вектор матрицы А с собственным числом . Следовательно, только собственный вектор структурной матрицы торговли с собственным числом даст национальные доходы стран, обеспечивающие сбалансированность торговли.
Пример.
Дана структурная мат рица торговли трех стран: .
Определить, при каких национальных доходах этих стран торговля между ними будет сбалансированной.
Найдем собственный вектор матрица А при . Для этого достаточно найти вектор Х из матричного уравнения . .
. После умножения всех уравнений на 12 расширенная матрица этой системы будет иметь вид: .
Метод полного исключения приводит к результатам:
.
Получили однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Однородная система всегда разрешима. Количество неизвестных равно 3, а ранг расширенной матрицы и матрицы системы равен 2, следовательно система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от оного параметра ( 3-2=1 ) .
Пусть x1 =4t, тогда x2 =9t, x3 = 2t, где t - параметр. Это означает, что при данной структурной матрице торговля будет сбалансированной только при условии, что отношение национальных доходов этих стран будет 4 : 9 : 2.
Оглавление
Глава |
|
Стр. |
|
Литература |
2 |
|
Основные обозначения |
3 |
1 |
Числовые множества |
4 |
2 |
Векторы в геометрической форме |
6 |
3 |
Метод координат |
9 |
4 |
Умножение векторов |
14 |
5 |
Матрицы |
16 |
6 |
Определители |
19 |
7 |
Обращение квадратной матрицы |
21 |
8 |
Ранг матрицы |
22 |
9 |
Системы линейных уравнений |
23 |
10 |
Векторы в координатной форме |
25 |
11 |
Комплексные числа |
27 |
12 |
Векторное n-мерное пространство |
30 |
13 |
Собственные числа и собственные векторы |
34 |
14 |
Векторы и системы линейных уравнений в экономике |
36 |
|
Оглавление |
40 |