4. Умножение векторов
Существует два способа умножения вектора на вектор:
- скалярное, когда при умножении двух векторов в результате получается число (скаляр);
- векторное, когда при умножении двух векторов в результате получается новый вектор.
Скалярным
произведением
двух векторов (
)
будем
называть число, равное произведению их
длин на косинус угла между ними.
.
Из определения следуют свойства.
4.1.
.
4.2.
.
.
4.3.
.
4.4.
.
4.5.
.
Выражение
называют
скалярным квадратом вектора и
используют для вычисления его длины:
.
4.6.
4.7. Условие ортогональности векторов
.
Векторным
произведением двух векторов (
)
будем называть
третий вектор
(
),
обладающий следующими свойствами:
- длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на
данных векторах как на сторонах;
- прямая, соединяющая концы вектора , перпендикулярна плоскости этого
параллелограмма;
-
направление вектора
определяется правилом «правой
руки» («буравчика»).
В
D
A
S
-
E
С F
Свойства векторного произведения:
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13. Условие коллинеарности векторов
.
4.14.
Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов
будем называть
число
.
B
H
S
A
С
4.15.
.
4.16.
.
4.17. Условие компланарности векторов
.
5 . Матрицы
5.1. Основные понятия
Матрицей
будем называть прямоугольную таблицу
чисел, расположенных строками и
столбцами; сами числа будем называть
элементами
матрицы
число
строк и столбцов образуют размерность
матрицы.
Приняты следующие обозначения.
-
матрица
размерности
содержит
2 строки
и 3 столбца.
- матрица-строка
(строка),
содержит 1
строку.
- матрица-столбец
(столбец),
содержит 1
столбец.
- матрица
содержит
m
строк
и
n
столбцов.
- означает, что i
принимает
все натуральные значения от 1
до
n.
- элемент матрицы
,
расположенный на пересечении ее i
-ой строки и
j
-го столбца;
i
и j
называют индексами.
- нулевая
матрица
размерности
.
Квадратной матрицей n -го порядка будем называть матрицу, содержащую
n строк и n столбцов.
Элементы
,
у которых
образуют ее главную
диагональ,
а
если
,
то они образуют побочную
диагональ.
-
квадратная
матрица 4-го
порядка.
побочная диагональ главная диагональ
.
Квадратную матрицу будем называть треугольной, если все элементы, расположенные выше (либо ниже) главной диагонали равны нулю.
.
Квадратную матрицу будем называть диагональной, если все ее элементы, не расположенные на главной диагонали равны нулю.
- диагональная
матрица четвертого порядка.
Диагональную матрицу будем называть единичной, если все элементы главной диагонали равны 1.
- единичная матрица
пятого порядка.
Элементы
двух
матриц будем называть
соответствующими,
если они имеют одинаковые
индексы.
Строки
(столбцы) будем
называть соответствующими,
если они имеют одинаковый номер.
Транспонированием
матрицы
будем называть операцию
замены всех столбцов
соответствующими
строками (всех строк соответствующими
столбцами).
второй столбец
первый столбец
Матрицу будем называть симметрической (симметричной), если при транспонировании она не изменяется.
Из определения следует:
- симметрическая матрица может быть только квадратной;
- ее элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.
.
Две матрицы одинаковой размерности будем называть равными , если
все их соответствующие элементы равны.
