14. Векторы и системы линейных уравнений в экономике

14.1. Модель Леонтьева (основная задача межотраслевого баланса)

Пусть в стране работает n отраслей народного хозяйства(n N): S₁, S₂, ..., S_i, ..., S_n.

Продукция каждой отрасли используется тремя способами:

- внутри самой отрасли,

- в других отраслях,

- как конечный продукт, направляемый на продажу внутри и вне страны.

Пусть известны также затраты отрасли S_i, потребные отрасли S_j для выпуска одной. единицы своей продукции, и пусть они равны a_ij, (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Это значит, что задана квадратная матрица n-го порядка (A_{n x n}), которую называют матрицей прямых затрат:

.

Основная задача межотраслевого баланса (модель Леонтьева) можно сформулировать следующим образом.

Требуется определить необходимый объем выпуска продукции каждой отрасли так, чтобы обеспечить в каждой отрасли запланированный объем выпуска конечного продукта.

Если b_i - запланированный объем выпуска конечного продукта в отрасли S_i, то весь конечный продукт можно задать вектором В_nx1, который называют вектором конечного продукта: .

Пусть x_i - искомый объем выпуска отрасли S_i, тогда объем выпуска по отраслям можно задать вектором .

В этих обозначениях задача имеет вид :

.

Уравнение называют модель Леонтьева.

Ясно, что все матрицы в модели Леонтьева имеют только неотрицательные элементы.

Матричное уравнение (*) можно записать также в виде системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матрица этой системы S = E - A. Если матрица S - невырожденная, то система (*) имеет единственное решение:

.

Модель Леонтьева (*) и матрицу ее прямых затрат (А) называют продуктивными, если для любого вектора конечных продуктов найдется вектор необходимого выпуска продукции по отраслям .

Критерии продуктивности:

Пример.

Допустим, что имеются всего две отрасли народного хозяйства (n=2) : энергетика и машиностроение. Энергетика запланировала валовый выпуск конечного продукта на сумму 144 млн рублей, а машиностроение - на сумму 123 млн рублей. Каждый млн рублей валового выпуска конечной продукции энергетической отрасли требует 0,07 млн рублей затрат валового выпуска своей отрасли и 0,12 млн рублей затрат валового выпуска отрасли машиностроения. Каждый млн рублей валового выпуска конечной продукции отрасли машиностроения требует 0,14 млн рублей и 0,10 млн рублей от энергетики и машиностроения. Требуется определить валовый выпуск продукции по отраслям, обеспечивающий запланированный валовый выпуск готового продукта.

Из условий задачи следует, что вектор конечного продукта , матрица прямых затрат , единичная матрица , искомый вектор валового выпуска по отраслям .

Критерии продуктивности выполняются, следовательно для решения этой задачи можно использовать модель Ленонтьева : .

В условиях решаемой задачи получим:

.

Ответ: При данной матрице прямых затрат валовый выпуск конечного продукта в энергетике в объеме 144 млн рублей, а в машиностроении в объеме 123 млн рублей можно обеспечить, если общий валовый выпуск в энергетике будет 179 млн рублей, а в машиностроении - 160,5 млн рублей.