Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
опорные лекции_2001.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
01.08.2019
Размер:
2.2 Mб
Скачать

5.2. Действия с матрицами

Суммой двух матриц одинаковой размерности (А + В) будем называть новую матрицу ( Х ) той же размерности , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Произведением матрицы А на скаляр ( А ) будем называть новую матрицу ( Х ) той же размерности, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента данной матрицы на данный скаляр.

Из последних двух определений следует что разность двух матриц может быть найдена следующим образом:

Скалярным произведением двух строк (или двух столбцов, или строки и столбца), имеющих одинаковое количество элементов, будем называть число, равное сумме произведений всех соответствующих элементов.

Линейной комбинацией строк (столбцов) будем называть сумму произведений этих строк (столбцов) на вещественные числа (скаляры).

Сами числа при этом называют коэффициентами этой линейной комбинации.

Произведением двух матриц будем называть новую матрицу ,

у которой каждый элемент хij равен скалярному произведению i - ой строки первого сомножителя на j -й столбец второго сомножителя.

Из определения следуют свойства:

5.2.1. Количество столбцов матрицы-множимого должно быть равно количеству строк матрицы-множителя;

5.2.2. Матрица-произведение имеет столько строк, сколько их у матрицы-множимого и столько столбцов, сколько их у матрицы-множителя.

5.2.3. Умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

5.2.4. Квадратные матрицы можно умножать только, если они имеют одинаковый порядок.

5.2.5. Умножение квадратной матрицы на единичную матрицу и слева и справа не изменяет данную матрицу.

;

Две квадратные матрицы будем называть взаимно обратными, если их произведение равно единичной матрице.

Взаимно обратные матрицы обычно обозначают так: А и А-1.

6. Определители

6.1. Определители второго порядка

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

.

Определителем второго порядка будем называть числополученное из квадратной матрицы второго порядка по формуле:

.

Другие обозначения определителя:

.

6.2. Определители третьего порядка

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

.

Определителем третьего порядка будем называть число, полученное из квадратной матрицы третьего порядка по формуле:

Другие обозначения:

Минором элемента aij (Mij) будем называть определитель, полученный из данного после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Пример:

Из определения минора следует:

- минор это тоже определитель, только его порядок на единицу меньше, чем у данного;

- минор определителя второго порядка это элемент данного определителя, его

называют также определителем первого порядка.

Алгебраическим дополнением элемента aij (Aij) будем называть минор этого элемента, умноженный на (-1)i+j. .

Свойства:

6.2.1. Транспонирование матрицы не меняет величину ее определителя.

Следствие: все свойства, справедливые для строк определителя,

будут справедливы также и для его столбцов.

6.2.2. Если две строки поменять местами, то абсолютная величина

определителя не изменится, а знак поменяется на противоположный.

6.2.3. Если все элементы строки умножить на одно и то же число, то

определитель умножится на это же число.

Следствие: если все элементы строки содержат общий множитель, то его

можно вынести за знак определителя.

6.2.4. Определитель равен нулю в следующих случаях:

- содержит нулевую строку;

- содержит одинаковые строки;

- содержит пропорциональные строки.

6.2.5. Если к строке прибавить линейную комбинацию других строк,

то величина определителя не изменится.

Следствие: если к строке прибавить другую строку (или вычесть ее),

то величина определителя не изменится.

6.2.6. Определитель можно вычислить, как сумму произведений всех

элементов какой-нибудь строки на свои алгебраические дополнения.

Этот способ вычисления называют разложением определителя по строке.

6.2.7. Сумма произведений всех элементов строки на алгебраические

дополнения соответствующих элементов другой сроки всегда

равна нулю.

6.2.8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Пример

6.3. Определители n -го порядка

Пусть дана квадратная матрица n -го порядка:

.

Определителем n -го порядка будем называть число полученное изквадратной матрицы n -го порядка,равное сумме произведений всех элементов любой ее строки ( или столбца ) на свои алгебраические дополнения.

.

Все понятия и свойства, сформулированные для определителей третьего порядка, справедливы также для определителей любого порядка .

Квадратную матрицу будем называть невырожденной, если ее определитель

не равен нулю.

Квадратную матрицу будем называть вырожденной (особенной), если ее определитель равен нулю.