- •Основные обозначения
- •1 . Числовые множества
- •1.1 Множество натуральных чисел
- •2. Векторы в геометрической форме
- •2.2. Действия с векторами в геометрической форме
- •2.2.1. Сложение
- •2.2.2. Вычитание
- •2.2.3. Умножение на число (скаляр)
- •Условие коллинеарности векторов
- •3 . Метод координат
- •3.1. Понятие числовой оси
- •3.3.2. Расстояние между двумя точками
- •3.3.3. Деление отрезка в данном отношении
- •3.3.4. Косоугольная декартова система координат
- •3.3.5. Полярная система координат
- •3.3.6. Связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами
- •3.3.7. Параллельный перенос координатных осей
- •3.3.8. Поворот координатных осей
- •3.4. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
- •3.4.1. Расстояние между двумя точками
- •3.4.2. Деление отрезка в данном отношении
- •3.5. Проекция вектора на координатную ось
- •4. Умножение векторов
- •4.7. Условие ортогональности векторов
- •4.13. Условие коллинеарности векторов
- •4.17. Условие компланарности векторов
- •5 . Матрицы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Действия с матрицами
- •6. Определители
- •7. Обращение квадратных матриц
- •8. Ранг матрицы
- •9. Системы линейных уравнений
- •9.4.1. Теорема Крамера
- •9.4.2. Если система 8.4. - однородна, то она имеет ненулевое
- •9.5. Метод обратной матрицы
- •10. Векторы в координатной форме
- •10.1. Составляющая вектора по числовой оси
- •10.1.1. Составляющую вектора по числовой оси можно найти с помощью
- •10.1.2. В прямоугольной декартовой системе координат составляющие
- •1 0.2. Разложение вектора на составляющие по координатным осям
- •10.2.1. Любой вектор равен сумме всех своих составляющих по осям координат.
- •10.2.2. Для того, чтобы задать вектор, достаточно задать все его координаты.
- •10.2.3. Действия с векторами в координатной форме
- •11. Комплексные числа
- •12. Векторное n-мерное пространство
- •13. Собственные числа и собственные векторы
- •14. Векторы и системы линейных уравнений в экономике
- •14.1. Модель Леонтьева (основная задача межотраслевого баланса)
- •14.2. Линейная модель обмена (модель международной торговли)
- •Оглавление
2.2. Действия с векторами в геометрической форме
2.2.1. Сложение
Метод параллелограмма
B C
A D
R
Метод цепочки N
P
M
S
Y
2.2.2. Вычитание
X Z
2.2.3. Умножение на число (скаляр)
Произведением вектора на скаляр будем называть такой вектор ,
который обладает следующими свойствами:
- длина нового вектора равна длине данного вектора, умноженной на абсолютную
величину скаляра;
- направление вектора совпадает с направлением данного вектора , если число положительно или имеет противоположное ему направление, если отрицательно.
Из определения следует: .
Противоположными будем называть векторы, которые равны по длине и противоположны по направлению.
Обозначение: - противоположные векторы.
.
Условие коллинеарности векторов
.
3 . Метод координат
Метод координат - это способ, с помощью которого осуществляется соответствие между точками (геометрическими элементами математики) и вещественными числами (аналитическими элементами). Для осуществления этого соответствия обычно используют числовую ось.
3.1. Понятие числовой оси
Числовой осью (L) или числовой прямой, будем называть прямую линию, удовлетворяющую следующим условиям:
- на прямой L фиксируем , называем ее началом координат и ставим ей в соответствие число 0;
- точка О делит прямую на два направления (луча), одно из которых помечаем стрелкой и считаем положительным, а другое - отрицательным;
- на положительном направлении OL построим , единичной длины и назовем его орт числовой оси OL;
- каждой точке М, лежащей на данной прямой ставим в соответствие вещественное число t, которое определяется следующим образом:
Число t назовем координатой точки М и обозначим: .
N(-2) O M0 M(+3)
L
-2 -1 0 1 2 3
Из определения числовой оси следует, что между точками на числовой оси и вещественными числами установлено взаимно-однозначное соответствие, а именно:
любой точке на оси соответствует единственное вещественное число и любому вещественному числу соответствует единственная точка на числовой оси.
Точку на числовой оси будем считать заданной, если известна ее координата.
Чтобы найти точку на числовой оси достаточно найти ее координату.
3.2. Метод координат на числовой прямой
3.2.1. Расстояние между двумя точками
Дано: OL - числовая ось
() М1(х1) , () М2(х2) OL
Найти: d= | M1M2 |
Ответ:
3.2.2. Деление отрезка в данном отношении
Дано: OL - числовая ось
() М1(х1), () М2(х2) OL
() М OL , R
|M1M| : |MM2| =
Найти: () М(х)
Ответ:
Метод координат на плоскости
Метод координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами вещественных чисел (координатами точки).
3.3.1. Прямоугольная декартова система координат
Y - ось ординат
y M1 M (x, y)
1
M2
O 1 x X - ось абсцисс
Прямоугольная декартова система координат на плоскости представляет собой две взаимно перпендикулярные числовые прямые с общим началом координат.
XOY - координатная плоскость,
(М1(х) - пр ох()М; х - абсцисса точки М;
(М2(y) - пр оу()М ; у - ордината точки М.
Точка на плоскости считается заданной, если известны ее координаты.