4.2. Расчет рисков в среде Excel.

ППП EXCEL предлагает широкий набор средств автоматизации статистического моделирования данных от вычисления параметров описательной статистики до построения сложных прогнозных моделей. Для этих целей в нем реализована специальная группа статистических и математических функций, большинство из которых содержится в дополнении Пакет анализа. Список и форматы некоторых функций, использованных в процессе анализа рисков, приведены в табл. 1.1.

	Таблица 1.1.
Наименование функции	Формат функции
СРЗНАЧ	СРЗНАЧ(блок ячеек)
ДИСПР	ДИСПР(блок ячеек)
СКОС	СКОС(блок ячеек)
СТАНДОТКЛОНП	СТАНДОТКЛОНП(блок ячеек)
НОЕМОБР	НОРМОБР(вероятность; средн_энач; станд отклон)
НОРМРАСП	НОРМРАСП (х; средн знач ; станд откл; интегральная)

4.3. Анализ рисков финансовых операций

Рассмотрим типовые задачи, которые можно решать с использованием стандартных функций ППП EXCEL.

Определение основных характеристик распределения случайной величины (СВ). Возможны два варианта расчетов: случай, когда вероятность осуществления случайного события не задана и , наоборот, вероятность осуществления случайного события задана явно.

Определение характеристик СВ при незаданной вероятности осуществления событий. В этом случае полагаем вероятность осуществления всех событий одина­ковой, т.е. p₁ = p₂ =…= p_n= 1/n и можем непосредственно применить статистические функций ППП EXCEL, вычисляющие основные характеристики распределения СВ (среднее значение М(Е), дисперсию VAR(E), стандартное отклонение (Е)). Продемонстрируем технику их расчетов с применением встроенных функций ППП EXCEL.

Подготовьте исходную таблицу (рис. 1.1. ) с данными следующего примера.

Пример 1.1. Рассмотрим возможность покупки акции недавно образованной фирмы «Н». Предполагается, что прогнозируется доходность по акциям этой фирмы через год будет зависеть от состояния спроса на ее продукцию в течение данного периода и соответственно равна: 12% - в случае повышенного спроса; 9% - при обычном спросе; 6% - при пониженном спросе.

	А	В	С
1	Анализ рисков (акции фирмы "Н")
2
3	Прогноз	Доходность
4	Пессимистический	6%
5	Вероятный	9%
6	Оптимистический	12%
7
8	Ожидаемая доходность (r )
9	Дисперсия (VAR)
10	Стандартное отклонение
11	Коэффициент вариации (CV)

Рис. 1.1. Исходная таблица для решения примера 1.1.

Осуществим анализ риска этой операции. Прежде всего определим среднюю доходность по акциям фирмы "Н". Поскольку наступление любого события в данном примере считается равновероятным, для расчета искомой величины можно воспользоваться функцией СРЗНАЧ (), указав ей в качестве аргументов блок ячеек В4, В6, содержащий предполагаемые значения доходности. Введите в ячейку В8 формулу: =СРЗНАЧ (В4: В6) (Результат 0,09, или 9%).

Для вычисления дисперсии и стандартного отклонения в ячейках В9 и В10 необходимо задать следующие формулы:

=ДИСПР(В4:В6) (Результат 0,0006)

=СТАНДОТКЛОНП (В4: В6) (Результат 0,0245, или 2,45%)

Теперь можно легко определить значение коэффициента ва­риации из соотношения (11). Для этого в ячейке В11 вычислим результат отношения стандартного отклонения (В10) к ве­личине среднего значения (В8):

=В10/В8 (Результат 0,27)

Полученные значения параметров позволяют сделать вывод о невысоком риске акций фирмы "Н".

Определение характеристик СВ при заданной вероятности осуществления событий.

Рассчитаем вероятность того, что доходность по акциям "Н" будет меньше величины а— (9 — 2,45 = 6,55). При этом будем исходить из предполо­жения, что величина доходности r распределена по нормальному закону Тогда из (10)

где Ф — функция Лапласа.

Для автоматизации расчетов, связанных с нормальным распределением вероятностей, в ППП EXCEL реализован ряд специальных функций. Мы будем использовать две функции - НОРМРАСП() и НОРМОБР().

Функция НОРМРАСП (х; средн_знач; станд_откл; интегральная)

Функция НОРМРАСП () имеет следующие параметры:

х — исследуемое значение случайной величины,

средн_знач — среднее значение;

станд_откл — стандартное отклонение;

интегральная — 0 или 1.

В зависимости от заданного параметра интегральная - О (ложь) или 1 (истина) — она возвращает плотность распределения (х) или значение кумулятивной функции распределения вероятностей F(x) для нормальной случайной величины.

Определим искомую вероятность р (r <. 6,55) Для этого в ячейку В14 введем формулу:

=НОРМРАСП(6,55; 9; 2,45; 1) (Результат 0,1586), или

=НОРМРАСП(В8-В10; В8; В10; 1) (Результат 0,1586)

Таким образом, эта вероятность приблизительно равна 16%. Соответственно вероятность Р(r > 6,55) будет равна:

=1 - НОPМРАСП(В8-В10; В8; В10; 1) (Результат 0,8414)

На рис. 1.2. приведен фрагмент ЭТ с расчетами вероятностей для различных значений ставки доходности r. Выполнить эти расчеты самостоятельно.

Построить графики плотности и кумулятивной функции распределения вероятностей для примера 1.1. Для построения графиков необходимо предварительно выполнить табуляцию функций (х) на интервале [а ± 3] и F(x). Для определения значений (х) также используется функция НОРМРАСП (), однако значение параметра интегральная при этом задается равным 0 (ложь).

	А	В	С
1	Анализ рисков (акции фирмы "Н")
2
3	Прогноз	Доходность
4	Пессимистический	6%
5	Вероятный	9%
6	Оптимистический	12%
7
8	Ожидаемая доходность (r )	9,00%
9	Дисперсия (VAR)	0,0006
10	Стандартное отклонение	2,45%
11	Коэффициент вариации (CV)	0,27
12
13	P (r<=6,55%)	0,1587
14	P (r<=11,45%)	0,8413
15	P (r<=0%)	0,0001
16
17

рис. 1.2. Анализ риска (пример 1.1)

По графикам убедиться, функция распределения F(x) возрастает на интервале от 0 до 1. Согласно правилу сложения вероятностей при x₁<x₂ вероятность попадания значения случайной величины Е в интервал (x₁; x₂) равна приращению функции распределения вероятностей:

p(x₁  E < x₂)=F(x₂) – F(x₁)

Определим вероятность попадания r в интервал (а + ):

=НОРМРАСП(В8+В10; В8; В10;1) - НОЕМРАСП(В8; В8; В10;1)

(Результат: 0,3414)

Соответственно вероятность попадания r в интервал (а ± ) будет равна:

=НОЕМРАСП(В8+В10;В8;В10;1) - НОБМРАСП(В8-В10; В8; В10;1)

(Результат: 0,6828)

Вероятность попадания г в интервал (а ± 2) и (а ± З) определите самостоятельно.

Полученные результаты служат числовой иллюстрацией правила трех сигм для нормального закона распределения.

Функция НОРМОБР (вероятность; средн_энач; станд__откл)

Функция имеет следующие параметры:

вероятность —вероятность нормального распределения;

средн_знач —среднее значение;

станд_откл —стандартное отклонение.

Она возвращает обратное нормальное распределение для указанного среднего и стандартного отклонения. Другими словами, она позволяет по заданной вероятности определить величину исследуемой переменной (в нашем примере доходности).

Определим предельную величину доходности для вероятности 84%:

=НОРМОБР (0,84 ;В8 ;В10) (Результат: 11,45%).

Таким образом, для заданной вероятности величина доходности составит не более 11,45%: р(х 0,1145) = 0,84.

Функции ППП EXCEL, определяющие значения параметров распределения М(Е), VAR(E) и (Е), следует применять только в тех случаях, когда вероятности событий равны. Если же распределение вероятностей задано (например, известно из преды­дущего опыта или получено методом экспертных оценок), среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение рассчитываются путем непосредственной реализации средствами ППП EXCEL соответствующих соотношений - (4), (6), (7). Продемонстрируем один из вариантов подобной реализации на решении примера 1.2.

Пример 1.2. Рассматривается возможность приобретения акций двух фирм «А» и «В». Полученные экспертные оценки предполагаемых значений доходности по акциям и их вероятности представлены в таблице 1.2.

Таблица 1.2.

Прогноз	Вероятность	Доходность, %
		Фирма «А»	Фирма «В»
Пессимистический	0,3	-70	10
Вероятный	0,4	15	15
Оптимистический	0,3	100	20

Подготовьте исходную таблицу с данными примера, как показано на рис. 1.3.

	А	В	С		D
1	Анализ рисков (акции фирмы "А")			Взвешенные квадраты отклонений
2
3	Прогноз	Вероятность	Доходность
5	Пессимистический	0,30	-70,00%
6	Вероятный	0,40	15,00%
7	Оптимистический	0,30	100,00%
8
9	Ожидаемая доходность (r )
10	Стандартное отклонение
11	Коэффициент вариации (CV)
12
14		Интервал ставки (r1; r2)		Вероятность (r1<=R<=r2)
15		r1	r2

Рис. 1.3. Исходная таблица для решения примера 1.2.

Прежде всего необходимо определить среднюю величину доходности (соотношение (4)). Наиболее простой способ - последовательно перемножить каждую ячейку блока В5. В7 на соответствующую ей ячейку блока С5. С7 и суммировать полученные значения. Нетрудно заметить, что данная последовательность действий представляет собой операцию нахождения суммы произведений элементов двух матриц. Поскольку матричные операции достаточно часто встречаются в прикладном анализе, для автоматизации их выполнения в ППП EXCEL реализована специальная группа математических функции..

В частности, для выполнения необходимой нам операции удобно использовать функцию СУММПРОИЗВ (). Как следует из табл. 1.3., аргументами функции являются матрицы одинакового размера. Введем в ячейку и формулу:

=СУММПРОИЗВ (В5: В7; С5: С7) (Результат: 0,15, или 15%)

Для определения величины стандартного отклонения необходимо сперва вычислить дисперсию. Из (6) следует, что дисперсия случайной величины представляет собой сумму квадратов отклонений от среднего, взвешенных на соответствующие вероятности. Зададим в ячейке D5 формулу вычисления дисперсии для первого события:

=В5* (С5-$В$9) ^2 (Результат: 0,2165).

Обратите внимание на то, что для задания ячейки, содержащей среднее значение (В9), используется способ абсолютной адресации. Это позволяет безболезненно скопировать данную формулу в ячейки D6,D7 (в противном случае адрес ячейки, содержащей среднее значение, был бы настроен неправильно). Теперь можно вычислить величину стандартного отклонения, которая равна квадратному корню из дисперсии (суммы ячеек D5:D7). Для этого воспользуемся функцией КОРЕНЬ () (см. табл. 1.3.). Введите в ячейку В10:

=КОРЕНЬ(СУММ(D5:D7)) (Результат: 0,6584, или 65,84%).

Вычисление коэффициента вариации не представляет особых трудностей. Для этого достаточно просто разделить значение ячейки В10 на значение В9. Введите в ячейку В11:

=В10/В9 (Результат: 4,39).

Вычислив основные параметры распределения случайной величины, можно определить вероятность ее попадания в некоторый интервал. В приведенной на рис. 1.4. таблице границы первого интервала задаются в ячейках В16 и С 16. Определим вероятность того, что значение доходности попадет в интервал (-70; 0). Введите границы анализируемого интервала в ячейки В16 и С16. Формула вычисления вероятности в ячейке D16 реализована с использованием уже известной нам функцией НОРМРАСП () и имеет следующий вид:

=НОРМРАСП (С16;$В$9;$В$10;1)-НОРМРАСП (В16;$В$9;$В$10;1)

(Результат: 0,31).

Снова обращаем внимание на использование абсолютной адресации при задании в формулах ячеек, содержащих среднее значение и стандартное отклонение.

	А	В	С	D
1	Анализ рисков (акции фирмы "А")
3	Прогноз	Вероятность	Доходность	Взвешенные квадраты отклонений
4
5	Пессимистический	0,30	-70,00%	0,21675
6	Вероятный	0,40	15,00%	0
7	Оптимистический	0,30	100,00%	0,21675
9	Ожидаемая доходность (r )	15,00%
10	Стандартное отклонение	65,84%
11	Коэффициент вариации (CV)	4,39
14		Интервал ставки (r1; r2)		Вероятность (r1<=R<=r2)
15		r1	r2
16		-70%	0%	0,31
17		15%	65%	0,28
18		15%	100%	0,4
19		-70%	100%	0,8

Рис. 1.4. Итоговая таблица анализа рисков (фирма «А»).

Для дальнейшего анализа достаточно указать интересующие интервалы и скопировать формулу в ячейке D16 необходимое число раз. На рис 1.4. приведена итоговая таблица, содержащая некоторые результаты анализа риска по акциям фирмы "А" (пример 2.) Аналогичная таблица на рис 1.5. содержит результаты анализа риска по акциям фирмы "В".

В качестве упражнения попробуйте разработать таблицу анализа рисков для фирмы "В" самостоятельно, используя рис 1.3. в качестве образца. Сравните полученные результаты.

	А	В	С		D
1	Анализ рисков (акции фирмы "В")
2
3	Прогноз	Вероятность	Доходность		Взвешенные квадраты отклонений
4
5	Пессимистический	0,3	10%		0,00075
6	Вероятный	0,4	15%		0
7	Оптимистический	0,3	20%		0,00075
8
9	Ожидаемая доходность (r )	15,00%
10	Стандартное отклонение	3,87%
11	Коэффициент вариации (CV)	0,26
12
13
14		Интервал ставки (r1; r2)		Вероятность (r1<=R<=r2)
15		r1	r2
16		0%	20%		0,9
17		15%	20%		0,4
18		10%	20%		0,8
19		-10%	0%		0

Рис. 1.5. Итоговая таблица анализа рисков (фирма «В»).

Пример 1.3. Прогнозируемые доходности по акциям фирм "К" и "Р" имеют следующие распределения вероятностей (табл.1.5)

Таблица 1.5.

Вероятность	Доходность
	Акции "К"	Акции "Р"
0,15	-15%		—25%
0,20	0%		10%
0,40	15%		20%
0,20	20%		30%
0,05	35%		45%