2.7. Логические основы построения эвм

В работе всех процессоров современных компьютеров применяется аппарат алгебры логики. Без использования алгебры логики невозможно также программирование. Как уже было сказано, основателем математической логики является ирландский ученый Джордж Буль, который опубликовал свои главные работы, посвященные алгебре логики в середине XIX века. С тех пор математическая логика непрерывно развивалась, но практическое применение эта наука нашла только после создания ЭВМ.

Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями и определяет значение всех функций и аргументов в двухзначном множестве: 1 (истина) и 0 (ложь). Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом соблюдается закон исключения третьего, т.е. высказывание может быть истинным или ложным, но не может быть одновременно истинным и ложным.

Примеры высказываний, допустимых в алгебре логики.

Сейчас идет дождь. Москва – столица России. Частное от деления 10 на 2 равно 3.

В алгебре логики высказывания обозначают буквами: A, B, C и называют операндами. Над операндами можно производить различные действия с помощью операторов. Из операндов и операторов можно строить логические конструкции, в том числе из многих звеньев. Существуют свои законы, аксиомы, теоремы. Но результатом любых логических операций может быть только два значения: истина или ложь, true или false, 0 или 1.

Подробно мы математическую логику изучать не будем, рассмотрим только самые главные операторы Булевой алгебры, на них построены реальные логические схемы компьютера. В вычислительной технике логические операции осуществляется с помощью типовых модулей, построенных из полупроводниковых элементов: диодов, транзисторов, тиристоров и пр.

Основные операторы алгебры логики.

1. Операторы сравнения: > больше, < меньше, = равно, <> не равно, >= не меньше, <= не больше. Действия операторов сравнения такие же, как и в алгебраических неравенствах, только результатом может быть два значения: истина или ложь.

2. Инверсия или отрицание, – операция замены высказывания на противоположное. Обозначается NOT или НЕ. В логических функциях при инверсии над элементом ставится черта: Ā . В отличие от всех остальных операторов, знак инверсии применяется к одному элементу.

В двоичной системе не 1=0.

Геометрическая интерпретация:

Вариант электрической схемы инвертора:

3. Конъюнкция или логическое умножение. Операция, соединяющая два и более высказываний в новое высказывание при помощи союза И (AND). Сложное конъюнктивное высказывание истинно только тогда, когда каждое из составных высказываний истинно. Высказывание ложно, когда хотя бы одно из составных высказываний ложно. Обозначается A∩B.

Словесный пример.

Что необходимо иметь для того, чтобы сварить суп? Нужны: вода, нагрев, кастрюля, продукты. Если отсутствует хотя бы одна из этих четырех составляющих – супа не получится. Налицо конъюнкция: истина (суп) будет существовать, если будут истинны, то есть будут в наличии следующие составные части: вода, нагрев ,кастрюля, продукты.

Геометрическая интерпретация:

В электрической схеме конъюнкция эквивалентна двум последовательным выключателям.

4. Дизъюнкция или логическое сложение. Операция, соединяющая два и более высказываний в новое высказывание при помощи союза ИЛИ (OR). В отличие от обычной речи, при дизъюнкции не предполагается связь высказываний по смыслу. В дизъюнкции сложное высказывание истинно, если хотя бы одно из исходных высказываний истинно. Сложное высказывание ложно только если все составные высказывания ложны. Обозначается AUB.

Словесный пример.

Что можно добавить в суп? Картофель, морковь, мясо, рыбу, макароны, перец, лавровый лист, лук и т.д. При отсутствии любого из этих компонентов все равно получим суп. Имеем дизъюнкцию: истина (суп) будет в наличии, даже если хотя бы один из указанных компонентов будет на месте.

Геометрическая интерпретация:

В электрической схеме дизъюнкция эквивалентна двум параллельным выключателям.

5. Исключающее ИЛИ. Из двух и более высказываний истинным является одно и только одно. В математической логике обозначается как XOR, в русском языке при таких высказываниях ставятся союзы ЛИБО. Либо одно, либо другое. Обозначается двумя знаками дизъюнкции: A UU B.

Словесный пример.

Кого-то зовут Джек. Это может быть либо человек, либо собака, но не может быть одновременно и собакой, и человеком.

Геометрическая интерпретация

В электрической схеме исключающее ИЛИ будет соответствовать двухпозиционному выключателю.

Применение логических операторов к операндам – высказываниям

A	B	A ∩ B	A U B	A UU B	Ā
1 (и)	1 (и)	1 (и)	1 (и)	0 (л)
1 (и)	0 (л)	0 (л)	1 (и)	1 (и)
0 (л)	1 (и)	0 (л)	1 (и)	1 (и)
0 (л)	0 (л)	0 (л)	0 (л)	0 (л)