6.2. Застосування критерію мінімального ризику при розпізнаванні графічних зображень рукописних цифр

Ймовірний характер опису рукописних цифр обумовлює прагнення застосувати критерій Байєса мінімального ризику при їх класифікації.

На рис. 6.2 наведено матрицю розподілу ймовірностей v_ij належності опису Y_i (i = 1…m) класу Z_j (j = 0...n).

Рисунок 6.2 – Матриця розподілу ймовірностей v_ij належності опису

Y_i (i = 1…m) класу Z_j (j = 0...n).

Класи Z_j (j = 1...n) – основні, клас Z₀ – додатковий.

Сума елементів рядка Y_i (i = 1…m) матриці

являє собою ймовірність опису, що відповідає цьому рядку.

Сума елементів стовпця Z_j (j = 0...n) матриці

являє собою ймовірність класу, що відповідає цьому стовпцю.

Сума усіх елементів матриці

як сума ймовірностей повної групи подій.

Збитки, обумовлені класифікацією, можуть бути надані у виді платіжних матриць c_ij, наведених на рис. 6.3.

Рисунок 6.3 – Платіжні матриці

Матриця рис. 57,а відповідає загальному випадку (індивідуальні значення збитків), а матриця рис. 57,б – окремому випадку (рівність значень однотипних збитків).

Із зіставляння матриць і випливає, що збитки, обумовлені класифікацією опису Y_i (i = 1...m) як класу Z_j (j = 0...n), складають

,

у зв’язку з чим цільова функція класифікації опису Y_i (i = 1...m) приймає вид

,

звідки випливає умова доцільності класифікації опису Y_i (i = 1...m) як основного класу Z_i (i = 1...n)

,

або умова класифікації зазначеного опису як додаткового класу Z₀ (відмова від розпізнавання)

.

При розпізнаванні рукописних цифр однотипні збитки приймаються рівними, в зв’язку з чим матриця збитків перетворюється на п’ятикомпонентну, в якій:

c₁ - збитки, пов’язані з правильним розпізнаванням основних класів;

c₂ - збитки, пов’язані з відмовою від розпізнавання додаткового класу або, що те саме, з правильним розпізнаванням додаткового класу;

c₃ - збитки, пов’язані з відмовою від розпізнавання основних класів;

c₄ - збитки, пов’язані з помилковим розпізнаванням додаткового класу як основного;

c₅ - збитки, пов’язані з помилковим розпізнаванням основних класів.

Як основні класи виступають конфігурації десяти арабських цифр, як додатковий клас – конфігурації, що не належать до арабських цифр.

За умов сортування c₁  c₂  c₃  c₄  c₅.

Для п’ятикомпонентної матриці збитків умова доцільності класифікації опису Y_i (i = 1...m) як основного класу Z_j (j = 1...n) може бути приведена до виду

,

а умова доцільності класифікації зазначеного опису як додаткового класу Z₀ (відмова від розпізнавання) – до виду

,

де – нормовані ймовірності v_ij, v_i0,

– коефіцієнти збитків.

При виконанні першої нерівності опис Y_i (i = 1...m) класифікується як основний клас Z_j (j = 1...n), якому відповідає , при виконанні другої – класифікується як додатковий клас Z₀ (відмова від розпізнавання).

З наведених виразів видно, що

-1  а  1, 0  b  1, b - 1  а  b,

внаслідок чого область допустимих значень а і b має вид паралелограма з координатами кутових точок (1; 1), (0; 1), (-1; 0), (0; 0), наведеного на рис. 6.4.

Рисунок 6.4 – Область допустимих значень а і b

Якщо у рівнянні розглядати а і b як змінні, а

і – як постійні, то в області допустимих значень а і b можна побудувати пряму, яка є графіком цього рівняння, і розділяє зазначену область на дві частини.

Частина області, розташована нижче прямої (вертикальна штриховка), відповідає прийняттю рішень про класифікацію конфігурацій, що розпізнаються, як основних класів, а частина, розташована вище неї (горизонтальна штриховка), – прийняттю рішень про їх класифікацію як додаткового класу (відмова від розпізнавання).

На рис. 6.4 зазначена пряма побудована для значень

= 0,6; = 0,2.

Точка Т₁ з координатами а = - 0,3; b = 0,4 розташована під прямою, отже конфігурація, що розпізнається, класифікується як основний клас. В цій точці умова доцільності класифікації як основного класу виконується, а умова доцільності класифікації як додаткового класу не виконується:

0,6 - 0,30,2 = 0,54  0,4.

Точка Т₂ з координатами а = 0,2; b = 0,8 розташована над прямою, отже конфігурація, що розпізнається, класифікується як додатковий клас. В цій точці умова доцільності класифікації як основного класу не виконується, а умова доцільності класифікації як додаткового класу виконується:

0,6 + 0,20,2 = 0,64  0,8.

Таким чином, результати класифікації суттєво залежать від значень елементів матриці збитків.

Фактичні значення збитків, обумовлених прийняттям рішень, складають:

• при класифікації опису Y_i (i = 1...m) як основного класу, якому відповідає ,

;

• при класификації опису Y_i (i = 1...m) як додаткового класу

.

Значення збитків у кутових точках паралелограма становлять:

• в точці (1; 1): c₁ = c₂ = c₃ = c₄ < c₅, збитки мінімальні;

• в точці (0; 1): c₁ = c₂ = c₃ < c₄ = c₅, збитки зростають;

• в точці (-1; 0): c₁ = c₂ < c₃ = c₄ = c₅, збитки зростають;

• в точці (0; 0): c₁ < c₂ = c₃ = c₄ = c₅, збитки максимальні.