2.2. Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості

Нехай задана в області .

Означення6. Функція має в точці похідну, якщо існує скінчена границя .

Означення7. Функція називається диференційованою в точці , якщо приріст функції в точці має вигляд

,

де , нескінченно мала більш високого порядку ніж .

Як і у випадку дійсної функції диференційованість в точці еквівалентна існуванню скінченої похідної функції в (див. [2]). Крім того, з диференційованості функції в точці слідує її неперервність в цій точці.

Безпосередньо із означення похідної слідує, що всі властивості похідної функції дійсної змінної виконуються і в нашому випадку.

Наприклад, якщо , тоді .

Якщо . Похідну знайдемо за означенням

, , .

тобто границя не існує, а отже не має похідної в точці .

У випадку, коли функція задана в термінах , , тобто , то диференційованість її, як умова еквівалентна існуванню похідної по , перевірити важко. В цьому випадку корисна наступна теорема.

Теорема2. Для того, щоб функція буда диференційованою в точці , необхідно і достатньо, щоб функції , були диференційованими в точці як функції двох дійсних змінних і та виконувалися умови Коші-Римана:

, .

Доведення див. [1, с. 31] або [2, с. 85], [3, с. 33].

При цьому виконується рівність

.

Означення8. Якщо функція диференційована у всіх точках області , то називається аналітичною в .

Приклад 1. Дослідити на диференційованість .

Розв’язання. , , , , , тобто . Отже, не диференційована в .

Приклад 2.

. Знайти , якщо вона диференційована.

Розв’язання

, , . Оскільки , , то , . З останніх рівностей отримаємо, що

, .

Вправи

Показати, що функції диференційовані

1. .

2. ,

3. ,

Довести, що функції не диференційовані.

4. .

5. .

6. Знайти , , , при яких буде аналітичною.

Знайти аналітичну функцію .

7. , .

8. , .

9. .

10. При якому – аналітична?

2.3. Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції

Нехай диференційована в точці , тоді , де , – відстані між , на площині і їх образами , на площині . Тоді – коефіцієнт розтягу вектора при відображенні площини на площину .

Геометричний зміст модуля похідної: – коефіцієнт розтягу в точці при відображенні площини на площину .

Нехай відображає площину на площину і диференційована в точці .

Розглянемо криву і образ при відображенні позначимо .

Якщо , то , – січна , – січна , – кут нахилу січної до , – кут нахилу січної до .

При січні , прямують до дотичних в точках , до кривих і відповідно, а , до кутів і між відповідними дотичними і осями , відповідно. Тоді , тобто . Звідси – кут повороту дотичної до кривої в точці площини при переході до її образу і к точці .

Приклад1. – відображає площину на площину . При цьому , тобто і , тобто при відображенні площина розтягується в раз і повертається на кут – .

Вправи

Знайти коефіцієнт розтягнення і кут повороту при заданих відображеннях в заданих точках

1. ;

2. ;

3. . Знайти , в яких коефіцієнт розтягнення дорівнює 1.

Яка частина комплексної площини розтягується, а яка стискається (вправи 4, 5, 6).

4. ;

5. ;

6. ;

7. . Знайти , в яких кут повороту дорівнює нулю.