Змістовний модуль № 7. Лишки та їх застосування

7.1. Означення ЛишкА. Обчислення лишків

Нехай – ізольована особлива точка функції , тоді в розкладі в ряд Лорана функції в точці коефіцієнт

,

де С – довільний замкнутий контур, що містить в середині себе єдину особливу точку функції і обходиться в додатному напрямі.

Означення1. Лишком в ізольованій особливій точці називається комплексне число, що дорівнює .

Позначається цей факт, як .

Можливі наступні можливості:

1) - особлива точка, яка усувається, тоді ;

2) - полюс першого порядку , тоді , тобто .

Приклад1. . Тоді - полюс першого порядку .

3) – полюс -го порядку, тоді

і .

Приклад2. . Тоді - особлива; полюс другого порядку, тобто m=2.

Вправи

Обчислити:

Знайти лишки по всім особливим точкам:

7.2. Основна теорема теорії лишків

Теорема1. Нехай аналітична функція в замкненій області за виключенням скінченого числа ізольованих особливих точок , що лежать в середині , тоді ,

де С – повна границя області , що проходить в додатному напрямі.

Доведення теореми див. [2, с.305], [1, с.122].

Приклад1. .

Оскільки має дві особливі ізольовані точки , що лежать в середині контуру С, то

Таким чином, .

Вправи

Обчислити:

7.3. Застосування теореми лишків до обчислення визначених інтегралів

Розглянемо , де R – раціональна функція своїх аргументів, тоді вірна формула: , дійсно після заміни

де – особлива точка , що міститься в середині .

Приклад1.

Особливі точки функції

.

Точки – полюси першого порядку, але в середині знаходиться тільки точка . Тому

Теорема2. Нехай функція задана на всій дійсній осі , може бути аналітично продовжена на верхню півплощину , причому її аналітичне продовження, , задовольняє умовам:

1. Існують числа , для всіх z з верхньої півплощини таких, що виконується оцінка ;

2. не має особливих точок на дійсній осі, а в півплощині має не більше скінченого числа ізольованих особливих точок.

Тоді , де - особлива точка в верхній півплощині.

Доведення теореми див. [1, с. 127].

Приклад2. . Тоді - задовольняє умовам теореми. Особливі точки в верхній півплощині причому обидві – полюси першого порядку. Тому

Вправи

Обчислити.

Контрольні роботи Контрольна робота №1 (денна форма навчання)

Варіант 1

1. Використовуючи умову Коші-Римана, довести, що диференційована в комплексній площині і знайти , якщо .

2. Нехай , знайти образи областей: і .

3. Нехай . Знайти образ області: .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 2

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо , .

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ області , якщо , , .

3. Знайти образ області при відображенні , якщо .

4. Знайти образ області при відображенні віткою багатозначної функції , якщо , .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 3

1. Використовуючи умову Коші-Римана, довести, що диференційована в комплексній площині і знайти , якщо .

2. Нехай , знайти образи областей: і .

3. Нехай . Знайти образ області: .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є аналітичною функція ?

Варіант 4

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо і .

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ області , якщо , , .

3. Знайти образ області при відображенні , якщо .

4. Знайти образ області при відображенні віткою багатозначної функції , якщо , .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 5

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо .

2. Нехай . Знайти образи областей і .

3. Знайти образ області , якщо .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є аналітичною функція ?

Варіант 6

1. При якому значенні диференційована у всій комплексній площині?

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ області , якщо , , .

3. Знайти образ області , якщо .

4. Знайти образ області , якщо – багатозначна функція і .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є аналітичною функція ?

Варіант 7

1. При якому значенні функція диференційована на всій комплексній площині.

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ прямої , якщо , , .

3. Знайти образ області , якщо .

4. – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 8

1. Нехай – аналітична функція . Знайти .

2. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

3. Нехай . Знайти образи областей і .

4. Знайти образ області .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 9

1. При якому значенні функція диференційована на всій комплексній площині.

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ круга , якщо , , .

3. Знайти образ області при відображенні , якщо .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 10

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо і .

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ області , якщо , , .

3. Знайти образ області при відображенні , якщо .

4. Знайти образ області при відображенні віткою багатозначної функції , якщо , .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є аналітичною функція ?

Варіант 11

1. Де функція диференційована. Знайти (там, де вона існує).

2. Нехай . Знайти образи областей: і .

3. Знайти образ області , якщо .

4. Знайти образ області , якщо – багатозначна функція і .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 12

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо і .

2. Нехай . Знайти образи областей і .

3. Нехай . Знайти образ області: .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 13

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо .

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ прямої , якщо , , .

3. Нехай . Знайти образ області: .

4. Знайти образ області , якщо – багатозначна функція і .

5. Обчислити ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 14

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо і .

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ кола , якщо , , .

3. Знайти образ області при відображенні , якщо .

4. Знайти образ області при відображенні регулярною віткою багатозначної функції , якщо , .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 15

1. Вияснити, де функція диференційована.

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ круга , якщо , , .

3. Нехай . Знайти образ області: .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 16

1. При якому диференційована на всій комплексній площині?

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ круга , якщо , , .

3. Знайти образ області , .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 17

1. При якому диференційована на всій комплексній площині?

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ прямої , якщо , , .

3. Знайти образ області , якщо .

4. Знайти образ області , якщо – багатозначна функція і .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 18

1. При якому диференційована на всій комплексній площині?

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ круга , якщо , , .

3. Знайти образ області , .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 19

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо і .

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ круга , якщо , , .

3. Знайти образ області при відображенні .

4. Знайти образ області , якщо – багатозначна функція і .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 20

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо .

2. Нехай . Знайти образи областей і .

3. Знайти дробово-лінійну функцію, яка одиничний круг відображає на круг , причому так, що точка переходить в точку , а .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити ; ; .

6. Чи є аналітичною функція ?

Варіант 21

1. Використовуючи умову Коші-Римана, довести, що диференційована в комплексній площині і знайти , якщо .

2. Нехай , знайти образи областей: і .

3. Нехай . Знайти образ області: .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 22

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо , .

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ області , якщо , , .

3. Знайти образ області при відображенні , якщо .

4. Знайти образ області при відображенні віткою багатозначної функції , якщо , .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 23

1. Використовуючи умову Коші-Римана, довести, що диференційована в комплексній площині і знайти , якщо .

2. Нехай , знайти образи областей: і .

3. Нехай . Знайти образ області: .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є аналітичною функція ?

Варіант 24

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо і .

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ області , якщо , , .

3. Знайти образ області при відображенні , якщо .

4. Знайти образ області при відображенні віткою багатозначної функції , якщо , .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?

Варіант 25

1. Нехай – аналітична функція. Знайти її, якщо .

2. Нехай . Знайти образи областей і .

3. Знайти образ області , якщо .

4. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є аналітичною функція ?

Варіант 26

1. При якому значенні диференційована у всій комплексній площині?

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ області , якщо , , .

3. Знайти образ області , якщо .

4. Знайти образ області , якщо – багатозначна функція і .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є аналітичною функція ?

Варіант 27

1. При якому значенні функція диференційована на всій комплексній площині.

2. Знайти дробово-лінійну функцію і образ прямої , якщо , , .

3. Знайти образ області , якщо .

– багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

4. Обчислити ; ; .

5. Чи є функція аналітичною?

Варіант 28

1. Нехай – аналітична функція . Знайти .

2. Нехай – багатозначна функція. Знайти образ області , якщо .

3. Нехай . Знайти образи областей і .

4. Знайти образ області .

5. Обчислити: ; ; .

6. Чи є функція аналітичною?