5.4. Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності

Означення2. Нехай аналітична в області . Точка називається нулем , якщо .

Нехай розкладається в околі в ряд , тоді якщо – нуль , то . Якщо , – називається нулем порядку k.

Якщо – нуль порядку k, то , де - аналітична функція в околі і не є нулем функції .

Теорема6. Нехай аналітична в області і обертається в нуль в різноманітних точках . Якщо послідовність сходиться до , в області .

Доведення теореми див. [2. с.263], [1, с.72].

Наслідок 1. Нулі аналітичних функцій – ізольовані точки.

Наслідок 2. Нехай аналітична в області , тоді в будь-якій обмеженій замкненій підобласті функція має скінчене число нулів.

Наслідок з теореми являє собою теорему єдиності:

Теорема7. Нехай і аналітичні в . Якщо в існує деяка підпослідовність різноманітних точок , що сходиться до деякої точки , в яких і співпадають, то в .

З теореми єдиності легко отримати:

Наслідок 1: Якщо і аналітичні в і співпадають на деякій кривій, що належить , то .

Наслідок 2: Якщо , аналітичні в , відповідно і , область така, що , то існує єдина аналітична функція

Приклад1. Визначити нулі та їх порядок .

Розв’язання. Нулями є точки . Покажемо, що нулі мають порядок 1. Дійсно, для нуля , та , тобто 3і – нуль першого порядку. Аналогічно для .

Вправи

Знайти порядок нуля z=0 для функцій:

5.5. Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження

Нехай аналітична в та . Розкладемо в степеневий ряд в околі точки : .

Тоді можливі два випадки:

1) радіус збіжності ряду не більший відстані від до границі області .

В цьому випадку розклад не виводить первісну аналітичну функцію за межі області .

2) радіус збіжності ряду більший за відстань від до границі

Нехай – коло збіжності ряду, та , причому аналітична функція , що задана рядом в співпадає з в середині , тобто говорять, що є аналітичним продовженням в . Причому, за теоремою про єдиність, це продовження єдине. Міркуючи аналогічно для деяких і т.д. отримаємо аналогічне продовження вздовж ланцюга . Будуючи різноманітні ланцюги областей, що виходять за , ми отримаємо аналітичне продовження на область, що містить .

Означення3. Функція F(z), отримана шляхом аналітичного продовження вздовж різноманітних ланцюгів, що виходять з області , первинного задання , називається повним аналітичним продовженням функції .

Розглянемо ряди

.

Степеневі ряди сходяться по всій - площині. Крім цього, , - задані по всій площині і є аналітичними, причому, , для і по теоремі єдиності , тобто , - аналітичні продовження , з дійсної осі.

Більш детально див. [1, 2, 3].

Змістовний модуль № 6. Ізольовані особливі точки аналітичних функцій

6.1. Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана

Теорема1. Нехай аналітична в кільці , тоді вона в цьому кільці однозначно визначена рядом Лорана, що збігається

.

Доведення теореми див. [2, с.282], [1, с.110].

Приклад1. Розкласти в ряд функцію

Розв’язання.

Вправи

Розкласти в ряд Лорана в околі точки

;