2.2. Степени свободы

Для выяснения областей применения и сущности механических моделей пользуются понятием степеней свободы. Число уравнений движения, необходимое и достаточное для описания движения какой-либо системы м.т. или а.т.т., принято называть числом степеней свободы этой системы. Эти уравнения должны описывать движение системы вполне однозначно, но среди них не должно быть уравнений, являющихся следствием других.

Движение м.т. в пространстве определяется тремя кинематическими уравнениями движения (2.2), т.е. м.т. имеет i = 3 степени свободы (рис.2.1.). Система N м.т., не связанных друг с другом, имеет i =  степеней свободы. Если между м.т. имеются жесткие связи (пока мы вообще говорим только о жестких связях), то из координат системы не все будут независимыми – число степеней свободы этой системы будет меньше . Можно показать, что число степеней свободы i меньше как раз на число f этих независимых жестких связей:

i = f. (2.1)

Сколько степеней свободы у а.т.т.? Для определения положения твердого тела в пространстве достаточно задать положение трех любых точек этого тела, не лежащих на одной прямой (рис.2.2.), т.е. задать положение произвольного треугольника, жестко связанного с а.т.т., тогда девять координат определяют положение этих точек. Но три из них не являются независимыми, так как могут быть определены из фиксированных значений расстояний между этими точками. Поэтому, чтобы задать положение а.т.т., нужно всего шесть независимых координат, а чтобы описать движение а.т.т., необходимо и достаточно написать шесть уравнений движения: твердое тело имеет i = 6 степеней свободы.

Для того чтобы описывать все возможные перемещения в системе м.т. и а.т.т., нужно знать виды этих перемещений, т.е. виды движения м.т. и а.т.т. Рассмотрим основные виды движения: поступательное и вращательное.

2.3. Описание поступательного движения

Поступательным называется такое движение а.т.т., при котором все точки его совершают одинаковые перемещения, т.е. описывают одинаковые по форме и протяженности траектории (говорят, что все точки тела описывают конгруэнтные траектории – траектории, совпадающие при наложении). В этом случае любая прямая, проведенная в теле, движется параллельно самой себе.

Для описания поступательного движения а.т.т. достаточно задать уравнения движения одной из его точек. Движение любой другой точки может быть получено параллельным переносом (все расстояния в твердом теле фиксированы). При поступательном движении твердое тело движется как материальная точка, т.е. имеет три степени свободы. Для описания поступательного движения тел используется модель м.т. Уравнения движения тела записываются в случае поступательного движения разными способами.

2.3.1. Координатное описание

В случае использования декартовой системы координат положение любой точки тела определяется координатами: абсциссой x, ординатой y и аппликатой z, которые при движении тела будут являться функциями времени:

(2.2)

Функции времени, определяемые формулами (2.2), называются кинематическими уравнениями движения данной точки в координатной форме.

Если из кинематических уравнений движения (2.2), заданных в координатной форме, исключить время , то мы получим уравнение траектории движения тела, т.е. решим главную задачу кинематики.

Траектория – пространственная линия, описываемая уравнениями:

а) в трехмерном пространстве L(x,y,z) = 0,

б) на плоскости y = y(x).

В каждой точке А траектории в трехмерном пространстве задаются шесть чисел – три координаты и три проекции скорости (импульса) (рис.2.3).