3.3. Cохранение момента импульса

По отношению к замкнутой системе частиц пространство не только однородно, но и изотропно: все направления в нем эквивалентны. Поэтому свойства замкнутой системы не должны меняться при повороте всей системы па произвольный угол вокруг произвольной оси. Это ведет к сохранению момента импульса для системы. Рассмотрим теперь основную динамическую характеристику простого вращательного движения.

Момент импульса  – физическая векторная величина, характеризующая количество и направленность запасенного твердым телом простого вращательного движения (или запас поступательного движения материальной точки в угловых параметрах).

3.3.1. Момент инерции

Момент инерции – физическая величина, количественно характеризующая инертность твердого тела, проявляющуюся во вращательном движении.

Рассмотрим простое вращательное движение а.т.т. вокруг какой-нибудь фиксированной оси. Величина, характеризующая это движение кинематически, с точки зрения его быстроты и направленности, – это угловая скорость. Однако, какой динамической величиной следует характеризовать «запас» – количество этого движения, которое может быть, например, передано другому телу? Ясно, что этот запас определяется не только угловой скоростью, но и внутренними свойствами этого тела. Если мы обратимся к опытам по передаче простого вращательного движения, то по аналогии с поступательным движением, выясняется, что «запас» простого вращательного движения характеризуется не только угловой скоростью, но некоторой величиной, учитывающей инертные свойства тела. Физическая величина, которая является мерой инертности твердого тела по отношению к простому вращательному движению, называется моментом инерции тела относительно той или иной оси.

Момент инерции во вращательном движении играет роль массы при поступательном движении.

Масса необходима, но недостаточна, так как инертность тела во вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения относительно оси вращения.

Опыт показывает, что величина момента инерции зависит не только от массы тела, но и от того, каким образом масса распределена относительно оси вращения. Момент инерции не зависит от характера движения тела, но зависит от выбора оси вращения.

Момент инерции материальной точки (рис. 3.13):

, (3.27)

где m – масса материальной точки; r – расстояние от оси вращения.

Рис. 3.13. К определению момента инерции м.т.

Основные свойства, характеризующие момент инерции.

1. Из (3.27) видно, что момент инерции не является векторной величиной. Необходимо отметить, что момент инерции не будет и скалярной величиной, как масса тела, так как является функцией ориентации оси вращения. Сколько осей вращения – столько, вообще говоря, моментов инерции имеет данное тело относительно этих осей. (В ряде случаев для разных осей моменты инерции могут принимать одно и то же значение.)

В физике подобные величины называются тензорными величинами.

2. Момент инерции – величина аддитивная. Кстати, это следует непосредственно из (3.27). Сумму произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее кратчайшего расстояния до оси вращения называют моментом инерции тела относительно этой оси.

Для системы а.т.т. момент инерции относительно оси (например, z) равен сумме моментов инерции всех тел относительно этой оси.

(3.28)

Момент инерции однородного твердого тела с плотностью ρ равен

(3.29)

теорема Штейнера: момент инерции  тела относительно произвольной оси есть сумма момента инерции _С относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, и произведения массы m тела на квадрат расстояния d между осями:

. (3.30)