3.3.4. Орбитальный момент импульса

Вектор орбитального момента импульса определяется как векторное произведение радиуса-вектора центра инерции тела на его полный импульс:

. (3.45)

где – аксиальный вектор. Направление находится по правилу правого винта.

Для м.т. возможно только поступательное движение, которое также можно характеризовать орбитальным моментом импульса (рис. 3.20).

Рис. 3.20. Орбитальный момент импульса м.т.

Для м.т.

, (3.46)

где  – импульс материальной точки; – радиус-вектор материальной точки.

В более общем случае движения твердого тела его центр инерции может совершать поступательное движение. Тогда полный импульс твердого тела равен (см. (3.12)):

.

Рассмотрим случай, когда траектория движения центра инерции – окружность. Тогда полный запас вращательного движения твердого тела характеризуется полным моментом импульса твердого тела , равным, по определению, векторной сумме собственного (осевого) момента импульса и орбитального момента импульса твердого тела

. (3.47)

Пример 1. Движение Земли (рис. 3.21).

Рис. 3.21. К вычислению полного момента импульса Земли

1. В орбитальном движении Земли вокруг Солнца (период равен 1 году) орбитальный момент импульса равен

, (3.48)

где  – скорость центра инерции Земли при движении по орбите.

2. В собственном вращении Земли относительно оси, проходящей через центр инерции Земли (период равен 1 суткам), осевой момент импульса равен

, (3.49)

где  – угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси.

3. Полный момент импульса Земли равен

. (3.50)

Пример 2.орбитальный момент импульса электрона в атоме водорода (рис.3.22).

3.3.5. Закон сохранения момента импульса

В замкнутой системе суммарный момент импульса сохраняется:

, (3.51)

или

. (3.52)

Из различия между понятиями «импульс» и «момент импульса» вытекает одно интересное следствие.

Выше было показано, что под действием внутренних сил скорость центра масс системы материальных точек не может измениться. При поступательном движении тела скорость всех его точек совпадает со скоростью центра масс. Следовательно, внутренние силы не в состоянии изменить скорость поступательно движущегося тела.

Совсем иной результат получается при вращении тела вокруг оси. Под действием внутренних сил может измениться расстояние между отдельными частями тела, что приведет к изменению его момента инерции. Но из закона сохранения момента импульса следует, что постоянным является лишь произведение , а не каждый из сомножителей. Если момент инерции под действием внутренних сил уменьшится, то во столько же раз возрастет угловая скорость, произведение же останется постоянной величиной.

3.3.6. Применения закона сохранения момента импульса

Пример 1. На тело массой М (Земля), движущееся по орбите, действует – со стороны Солнца - центральная сила тяготения (система является незамкнутой), но момент этой силы относительно центра  (рис. 3.23) равен нулю.

Рис. 3.23. Пример частного закона сохранения момента импульса - центральная сила (сила тяготения) действует на Землю со стороны Солнца

Точно так же, как сила (см. (4.1), (4.27), (4.29) и (4.32)) является характеристикой быстроты изменения импульса, характеристикой быстроты изменения момента импульса является момент силы. Поэтому в отсутствие момента силы

= const,

т.е. сохраняется ориентация орбиты в пространстве.

Для системы, находящейся во внешнем поле, момент импульса в общем случае не сохраняется. Однако сохранение момента все же может иметь место в некоторых специальных случаях. Так, если система находится в центрально-симметричном поле (см. рис.3.23 и 3.24), т.е. в таком поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до некоторой неподвижной точки – центра, то все направления в пространстве, исходящие из центра, эквивалентны, и момент импульса системы относительно этого центра будет сохраняться - так называемый частный закон сохранения импульса.

Рис. 3.24.  Пример частного закона сохранения момента импульса - центральная сила (электростатическая сила) действует на электрон со стороны ядра атома водорода

Относительно же всякой другой точки пространства момент, естественно, не сохраняется.

Пример 2. Маятник Обербека (рис. 3.25).

Рис. 3.25. Маятник Обербека

Несмотря на изменение распределения масс относительно оси вращения, момент импульса маятника Обербека сохраняется:

. (3.53)

Поскольку , а ₁ < ₂, то ₁ > ₂.