3.2.3. Свойства массы
1. Масса тела зависит от плотности вещества ρ и размеров тела (объема тела V):
. (3.4)
2. Масса не тождественна количеству вещества, так как (в отличие от количества вещества) масса зависит от скорости (рис. 3.4):
Рис. 3.4. Зависимость массы от скорости
m = γm0, (3.5)
где γ – релятивистский фактор;
m0 – масса покоя.
3. Понятие массы не тождественно понятиям веса и силы тяжести, так как масса не зависит от полей тяготения и ускорений.
4. Масса необходима и достаточна для описания поступательного движения, но недостаточна для описания вращательного движения.
3.2.4. Свойства импульса
1. Вектор импульса может быть разложен по осям координат:
. (3.6)
Модуль вектора импульса равен:
. (3.7)
2. Импульс зависит от скорости:
. (3.8)
3. Полный импульс системы материальных точек:
. (3.9)
Рис. 3.5. Определение центра инерции системы м.т.
Точка С – центр масс (центр инерции) твердого тела или системы материальных точек (рис. 3.2). положение центра масс (инерции) твердого тела определяется по формуле
, (3.10)
где
;
.
Модуль радиуса-вектора центра масс:
. (3.11)
Тогда полный импульс системы материальных точек или твердого тела равен импульсу материальной точки массой, равной полной массе системы м.т. или твердого тела, которая расположена в центре масс и движется со скоростью центра масс:
(3.12)
где
(3.13)
– полная масса системы,
а
(3.14)
– скорость центра инерции системы.
3.2.5. Закон сохранения импульса
Для замкнутых систем справедлив закон сохранения импульса, который можно сформулировать так: полный (суммарный) импульс замкнутой системы тел сохраняется при любых процессах, происходящих в этой системе.
Не следует думать, что этот закон требует неизменности импульса каждого тела, входящего в систему. Как раз наоборот – благодаря действию внутренних сил импульсы тел, входящих в систему, все время изменяются. Сохраняется лишь полный импульс – векторная сумма импульсов всех составных частей системы:
(3.15)
или
или
(3.16)
где
–
скорость i-й материальной точки до
взаимодействия;
–
ее скорость после взаимодействия (i = 1,
…, N).
3.2.6. Применения закона сохранения импульса
1. Закон сохранения импульса замкнутой системы можно рассматривать как обобщение закона инерции – первого закона Ньютона.
Для свободно движущейся частицы (одной материальной точки, N = 1)
. (3.17)
2. Рассмотрим замкнутую систему двух (N = 2) материальных точек (рис. 3.6):
(3.18)
. (3.19)
Рис. 3.6. Взаимодействие двух м.т.
Физическая величина, выражающая изменение импульса частицы в единицу времени, будет измерять внешнее воздействие на эту частицу, т.е. силу, действующую на данную частицу со стороны другой частицы (других частиц).
Следовательно, векторная сумма сил будет равна нулю:
, (3.20)
и это выражает третий закон Ньютона – действие равно противодействию.
3. Рассмотрим так называемый частный закон сохранения импульса (рис. 3.7) на примере движения м.т. в однородном поле тяготения:
Рис. 3.7. Движение м.т. в однородном поле тяготения
Так как вдоль оси Y действует сила тяжести
(3.21)
то вдоль оси Y импульс не сохраняется:
(3.22)
и полный импульс системы «м.т. – Земля» не сохраняется:
(3.23)
так как система незамкнута.
Однако,
вдоль оси Х силы не действуют
и система может считаться замкнутой.
Поэтому
т.е. вдоль оси абсцисс м.т. движется свободно – равномерно и прямолинейно.
4. Центральный удар (табл. 3.1) – рис.3.8. – 3.11.
Таблица 3.1
Абсолютно упругий удар |
Абсолютно неупругий удар |
|
( |
–
изменение внутренней энергии)
5. Абсолютно упругий удар на плоскости (в бильярде) (рис. 3.12).
Закон сохранения импульса:
,
или (3.24)
или – по теореме косинусов
. (3.25)
Закон сохранения энергии
. (3.26)
Если массы шаров одинаковы, то угол θ будет равен 90.