2.11. Интегрирование уравнений вращательного движения

По аналогии с описанием поступательного движения можно записать кинематические уравнения в векторной форме и в координатной форме (при вращении, например, вокруг оси Z).

2.11.1. Уравнения в векторной форме

Если известна зависимость вектора углового ускорения (2.38) от времени, то, проинтегрировав ее по времени, мы получим уравнение зависимости вектора угловой скорости движения от времени:

. (2.39)

Если известна зависимость вектора угловой скорости (2.36) от времени, то, проинтегрировав ее по времени, мы получим кинематическое уравнение движения в векторной форме:

. (2.40)

Для того чтобы найти постоянные интегрирования С₁ и С₂, необходимо знать начальные условия движения.

В равнопеременном вращении – по аналогии с поступательным движением – кинематические уравнения можно записать в векторной форме:

(2.41)

В равномерном движении при векторном описании движения

(2.42)

Здесь векторы есть начальные (в момент времени ) значения соответствующих векторов.

Векторы , и , описывающие вращение а.т.т. – осевые (аксиальные) векторы. Их направление – условное: оно определяется по правилу правого винта, ввинчивающегося вдоль оси вращения. Их модуль равен значению соответствующей физической величины (в радианах, рад/с, рад/с² соответственно).

2.11.2. Уравнения в координатной форме

Если известен вид уравнения зависимости проекции углового ускорения на ось вращения z от времени, то, проинтегрировав его по времени, мы получим уравнение зависимости проекции угловой скорости от времени:

. (2.43)

Если известно уравнение зависимости проекций угловой скорости на ось вращения z от времени, то, проинтегрировав его по времени, мы получим кинематическое уравнение движения в координатной форме:

. (2.44)

Для того чтобы найти постоянные интегрирования С₁, и С₂ необходимо знать начальные условия движения.

В равнопеременном движении при координатном описании движения:

(2.45)

В равномерном движении при координатном описании движения:

(2.46)

Здесь величины есть начальные (в момент времени ) значения соответствующих проекций.

Поступательное движение м.т. по орбите (орбитальное движение) также может быть описано уравнениями, выраженными в угловых характеристиках.

2.12. Взаимосвязь линейных и угловых характеристик движения

При осевом вращении каждая точка а.т.т. движется по орбите, т.е. ее движение является поступательным (рис. 2.11). Следовательно, угловые и линейные характеристики движения связаны друг с другом следующими соотношениями:

(2.47)

(2.48)

(2.49)

(2.50)

Рис. 2.18. Линейные и угловые характеристики ускоренного осевого вращения а.т.т. (или орбитального движения м.т.)

Контрольные вопросы

1. Как связаны компоненты скорости и ускорения материальной точки с производными ее координат по времени?

2. Может ли криволинейное движение быть равномерным?

3. Чему равно скалярное произведение скорости и ускорения в случае равномерного движения по окружности? как со временем меняется вектор линейного ускорения?

4. Что характерно для скоростей и ускорений точек тела, движущегося поступательно?

5. Материальная точка равнозамедленно движется по окружности. Как направлены векторы угловой скорости, углового ускорения, тангенциального, нормального и полного ускорений? Как с течением времени меняется угол между линейным ускорением и радиусом-вектором?

6. Может ли движущееся тело иметь векторы , все время направленные в противоположные стороны?