2.5. Уравнение количества движения

Вывод уравнения. Если энергетические характеристики I потока исследуются с помощью уравнения Бернулли, то для определения его силовых и временных характеристик используется уравнение количества движения. Оно выводится из теоремы механики об изменении количества движения, которая формулируется так: «При движении массы т изменение во времени ее количества движения mw равно результирующей f внешних сил, действующих на эту массу»:

(2.21)

Количество движения, или импульс, mw является вектором.

П ри установившемся движении некоторой массы жидкости количество движения может изменяться из-за перемещения ее границ. Рассмотрим объем жидкости, заключенный между двумя сечениями струйки (рис. 11). Торцевые поверхности этого объема перемещаются вместе с жидкостью и через промежуток времени Δt занимают положение, показанное на рис. 11 пунктиром. За время Δt внутрь выбранного объема втекает масса жидкости , и из него вытекает масса ; соответственно поступающее количество движения равно

и теряемое

Согласно уравнению (2.21) векторное приращение этих количеств движения, отнесенное ко времени, равно результирующей внешних сил, действующих на выделенный объем:

(2.22)

Выражение (2.22) называется уравнением количества движения в гидродинамической форме; оно получено Эйлером (1757). Поскольку внешние силы уравновешиваются реакцией потока, уравнение (2.22) позволяет определить усилие, с которым поток действует на ограничивающие его поверхности, если количество движения меняется только за счет скорости (т = const). В сущности, при постоянной массе исходные уравнения (2.8) и (2.21), использованные для вывода системы дифференциальных уравнений динамики идеальной жидкости и уравнения количества движения одномерного потока, идентичны. Поэтому систему уравнений Эйлера (2.9) также называют «уравнениями импульса».

Давление струи на преграду. Рассмотрим задачу о натекании струи под углом а на плоскую стенку (рис. 12). Выберем сечения потока, показанные на рисунке пунктирными линиями. Разложим члены уравнения количества движения (11.22) на компоненты, касательные к поверхности (значок t) и нормальные к ней (значок п):

,

Если пренебречь вязким трением, то в направлении касательной к поверхности действующая на струю сила равна нулю, т.е. . В направлении нормали сила воздействия стенки на струю (очевидно, равная по величине и противоположная по направлению силе давления струи на стенку) равна

(2.23)

г де F₁ – площадь исходного сечения струи 1-1.

Реакция вытекающей струи. Рассмотрим истечение струи из бака под действием перепада давления Δр. Поскольку в баке жидкость можно считать неподвижной (ω₁ = 0), то переносимое струей количество движения равно где F_с и ω_c – площадь сечения и скорость струи. Выражая скорость струи через перепад давления по формуле (2.18б) и подставляя в уравнение (2.22), получим силу peaкции струи:

(2.24)

(коэффициент скорости истечения φ

считаем равным единице). Таким образом, реакция струи, направленная противоположно скорости истечения, равна удвоенной величине силы статического давления на площадь сечения струи.

Сила давления потока на стенки криволинейного канала. При движении по криволинейному каналу (см. рис. 11) на его стенки действуют со стороны жидкости силы давления на торцевые сечения F₁ и F₂ и сила инерции потока, определяемая по уравнению количества движения (2.22).

Изменение количества движения во входном сечении равно ; оно уравновешивается силой давления стенок канала на поток f₁.В свою очередь, эта сила равна по величине и противоположна по направлению реакции потока, которая вместе с силой статического давления дает величину

(2.25)

Изменение количества движения в выходном сечении уравновешивается силой сила реакции потока совместно с силой статического давления на сечение 2 составляет величину

(2.25а)

Полная сила R воздействия потока на стенки канала равна геометрической сумме сил R₁ и R₂:

(2.25б)

Приведенный вывод составляет основу раздела о силовом взаимодействии потока со стенками канала в теории турбомашин.

У равнение моментов количества движения. Рассмотрим движение жидкости в рабочем колесе центробежного насоса (рис. 13). Пусть внутренний радиус колеса равен r₁ внешний r₂. Абсолютная скорость жидкости на входе в межлопаточный канал равна c₁, на выходе с₂. Окружные скорости колеса на входе и₁ и на выходе u₂. Очевидно, что , где ω – угловая скорость колеса. Скорость движения жидкости относительно колеса равна векторной разности абсолютной скорости с и окружной и; обозначим ее на входе в колесо через ω₁ и на выходе через ω₂. Угол, образованный векторами скорости с₁ и и₁ на входе в колесо обозначим через α₁ («угол входа»); между векторами с₂ и u₂ на выходе из колеса – через α₂.

Применим к частице с массой m, движущейся через колесо вдоль лопатки, теорему механики об изменении моментов количества движения: изменение во времени момента количества движения относительно оси вращения колеса mс·r равно результирующему моменту внешних сил:

(2.26)

На выходе из колеса момент количества движения равен произведению количества движения тс₂ на плечо, равное r₂ cos α₂, т. е. mc₂r₂ cos α₂; на входе в колесо этот момент равен mc₁r₁ cos α₁. Подставляя эти величины в уравнение (2.26), получим уравнение моментов количества движения Эйлера (1757):

(2.27)

Уравнение (2.27) одинаково справедливо как для лопастного насоса, так и для гидравлической турбины. В последнем случае поток входит в рабочее колесо через сечение II и выходит сечением I, изменяя свой момент количества движения и передавая крутящий момент М лопаткам колеса. Для турбины векторы скорости с₂ и с₁ имеют противоположное направление. Отношение в уравнении (2.27) представляет секундный массовый расход ρQ с размерностью кг/сек.

Умножая уравнение (2.27) на угловую скорость колеса ω, получим в правой части полезную мощность насоса (или турбины):

Очевидно, что эта мощность будет наибольшей при cos α₁ = 0, т. е. при α₁ = 90° (для насоса это – радиальный вход потока в рабочее колесо, для турбины – радиальный выход). В этом случае

Уравнение (2.27) имеет особую ценность потому, что крутящий момент здесь получен независимо от каких-либо особенностей потока внутри межлопаточного канала.