- •Гидрогазодинамика Учебное пособие
- •Воронеж 2005
- •Введение
- •1. Основы гидростатики
- •1.1. Физические свойства жидкостей
- •1.2. Основные понятия и уравнения гидростатики
- •2. Основные понятия и уравнения гидродинамики
- •2.1. Определения кинематики жидкости. Неразрывность
- •2.2. Уравнения движения идеальной жидкости Эйлера
- •2.3. Уравнение Бернули
- •2.4. Примеры применения уравнения Бернулли
- •2.5. Уравнение количества движения
- •3 Потери напора и гидравлические сопротивления расчет трубопроводов
- •3.1 Режимы движения вязкой жидкости. Потери напора по длине трубы
- •3.2. Местные сопротивления и расчет трубопроводов
- •3.3. Гидравлический удар в трубах
- •4. Движение газа без скачков уплотнения
- •4.1 Исходные уравнения
- •4.2. Примеры применения теории одноразмерного изоэнтропического течения газа
- •4.3. Одномерное течение газа с трением
- •4.4 . Возмущения в дозвуковом и сверхзвуковом потоках. Характеристики
- •5. Скачки уплотнения
- •5.1. Прямой скачек
- •5.2. Косые скачки уплотнения
- •5.3. Взаимодействие сверхзвукового потока с ограничивающими поверхностями
- •6 Основы динамики идеальной несжимаемой жидкости
- •6.1. Кинематический анализ движения жидкости
- •6.2. Функция тока и потенциал скорости
- •6.3. Вихревое движение жидкости
- •6.4. Обтекание тел идеальной жидкостью
- •7.3. Подобие потоков при действии различных сил
- •8.1. Общие понятия и дифференциальные уравнения пограничного слоя
- •8.2. Интегральные соотношения и расчет пограничного слоя
- •8.3. Отрыв пограничного слоя и сопротивление при отрывном обтекании
- •9. Течения газа в диффузорах и эжекторах
- •9.1 Диффузоры
- •9.2. Эжекторы
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
6 Основы динамики идеальной несжимаемой жидкости
6.1. Кинематический анализ движения жидкости
Виды движения жидкой частицы. Кинематика жидкой среды существенно отличается от кинематики системы материальных точек или кинематики твердого тела. Движение твердого тела в общем случае складывается из поступательного перемещения вместе с полюсом (мгновенным центром вращения) и вращения относительно мгновенной оси, Проходящей через полюс. Движение жидкости значительно сложнее, поскольку частица кроме указанных перемещений может деформироваться.
Изучим возможные формы движения жидкой частицы, рассматривая для начала ради простоты плоское движение в плоскости ху. Будем обозначать составляющие вектора скорости в данной точке через wx, wy, wz. Для рассматриваемого плоского течения wz = 0. Пусть частица в форме квадрата с «полюсом» в точке А переместилась за некоторое время А' в соседнее положение, изображенное на рис. 49 параллелограммом. Точка А при этом заняла положение А'. Очевидно, перемещение части складывается из следующих составляющих: а) перемещение полюса; б) вращение около полюса; в) деформация частицы.
Скорость поступательного движения полюса, как и в случае движения твердого тела, определяется компонентами вектора скорости wx, wy
Вращательное движение жидкой частицы существенно отличается от вращения твердого тела. Действительно, вращение жидкой частицы нельзя охарактеризовать угловой скоростью какого-либо одного отрезка, выбранного в этой частице. Например, угловая скорость w ребра АВ может быть определена из разности скоростей изменения составляющих скорости в направлении оси у:
.
Угловая скорость ребра AD равна
.
По предложению Гельмгольца, за угловую скорость жидкой частицы принимается средняя алгебраическая величина из угловых скоростей сторон прямоугольника
. (6. 1)
Индекс z в выражении (6. 1) показывает, что определяется со
ставляющая вектора угловой скорости относительно оси z, нормальной к плоскости ху. Угловая скорость считается положительной, если вращение происходит против часовой стрелки.
Деформация жидкой частицы может быть двоякого рода. Во-первых, это деформация растяжения-сжатия, характеризующаяся удлинением сторон исходной частицы. Очевидно, что такое удлинение определяется изменением соответствующих компонент скорости по координатным осям:
, .
Во-вторых, возможна деформация скоса ребер жидкой частицы, т. е. заострение (или затупление) исходных углов. Такую деформацию можно охарактеризовать поперечной изменчивостью скорости течения, или средней арифметической из угловых скоростей вращения ребер:
.
Приведенные соображения позволяют сформулировать теорему Гельмгольца: скорость жидкой частицы складывается из скорости полюса, скорости вращательного движения около оси, проходящей через полюс, и скорости деформационного движения, состоящего в свою очередь из линейной деформации растяжения-сжатия и угловой деформации скашивания ребер частицы.
Теорема Гельмгольца справедлива и для более общего случая пространственного движения. При этом появляются новые члены, характеризующие движение: деформация растяжения – сжатия в на правлении оси z, т. е. , и угловые скорости и деформации скоса относительно осей у и х. Приведем выражения для этих величин без вывода. Угловые скорости:
, ,
(6.2)
деформации скоса:
, ,
. (6.3)
Индексы х, у, z при ε в последних выражениях не следует понимать как символы проекции: они указывают лишь направление перпендикуляра к площадке, в которой происходит перекашивание грани. Вообще в отличие от угловой скорости w, которая, как и в механике твердого тела, имеет векторный характер, деформация скоса ε является скаляром.
Вихревое и безвихревое движение. Если при движении жидкости ее частицы вращаются и составляющие угловой скорости ωx, ωy, ωz не равны нулю, движение называется вихревым. Наличие вращательных движений в двухмерном потоке может быть установлено таким простейшим экспериментом: в поток вводят поплавок со стрелкой-индикатором, причем его размер мал по сравнению с радиусом кривизны линий тока. Если при движении поплавка стрелка-индикатор не остается параллельной самой по себе, а изменяет свое направление с некоторой угловой скоростью w, то движение — вихревое и угловая скорость поплавка совпадает с угловой скоростью жидкой частицы.
Необходимо отметить, что вихревым может быть течение и при прямолинейных траекториях частиц. Например, если частицы движутся параллельно оси x (рис. 50), причем скорости изменяются по закону wx = ay + b, где а и b — постоянные, то угловая скорость равна
;
мы имеем вихревое течение, и поплавок, помещенный в поток, будет вращаться по часовой стрелке. Течение вязкой жидкости в трубах постоянного сечения — также вихревое, причем угловая скорость вращения частиц нарастает с приближением к стенке трубы. (Изучению закономерностей вихревого движения посвящен § 6.3.)
Рассмотрим один частный случай движения жидкости, когда вращение частиц отсутствует. В этом случае ωx = ωy = ωz = 0. Такое движение называется безвихревым.
Важность этого частного случая движения определяется тем обстоятельством, что, как показывает опыт, при обтекании тела с плавными обводами вращение частиц наблюдается только в тонкой пристенной области и за кормой. Во всем остальном потоке движение осуществляется практически без вращения частиц. Поэтому безвихревое движение имеет особое значение для теории удобообтекаемых тел (таких, как современные самолеты, ракеты, корабли, проточные части турбомашин). Особенно большое значение имеет теория безвихревого движения для решения задачи о распределении давлений на поверхность обтекаемого тела.
П ри плоском (двухмерном) течении равенство нулю угловой скорости вращения приводит к выражению
Рис. 50
Если обратиться к рис. 49, то угловая скорость ребра АВ при этом будет и положительна (ребро АВ вращается против часовой стрелки). Угловая скорость ребра AD будет и отрицательна (ребро AD вращается по часовой стрелке). Средняя скорость вращения
,
равная угловой скорости биссектрисы исходного прямого угла, в случае безвихревого движения равна нулю; частица перемещается без вращения, несмотря на наличие деформационного движения. В этом случае поплавок, опущенный в жидкость, будет перемещаться вместе с потоком таким образом, что стрелка-индикатор остается все время параллельной самой себе.
Безвихревое циркуляционное течение. Интересным и практически важным примером безвихревого движения является круговое течение, в котором скорость обратно пропорциональна расстоянию от оси вращения частиц (рис. 51):
. (6.4)
Хотя линии тока этого течения криволинейны, но поток является безвихревым — частицы деформируются, но не вращаются.
Течение, в котором скорость подчиняется закону (6.4), называют безвихревым циркуляционным потоком (иногда – менее точно – плоским вихрем).
Рис. 51
Рис. 52
Возрастание скорости с приближением к оси спиральной камеры позволяет использовать ее в качестве циклонной установки для сепарации твердых частиц из газового потока — центробежные силы; действующие на частицы при движении с большой скоростью по криволинейным траекториям, отбрасывают их к стенкам камеры.
Другое применение спиральной камеры — так называемые рециркуляционные печи, используемые при термической обработке крупных поковок или отливок. Обрабатываемое изделие (садка) размещается у оси камеры. За счет большой скорости газов, обтекающих поверхность садки, происходит интенсивный теплообмен между потоком и поверхностью, что позволяет сократить сроки термообработки.