3.3. Гидравлический удар в трубах

Прямой удар. При неустановившемся движении жидкости в трубах изменение во времени Скорости течения приводит к колебаниям „давления, которые называются гидравлическим ударом. Теория этого явления разработана Н. Е. Жуковским (1899). Простейшим случаем гидравлического удара является прямой удар, наблюдаемый при мгновенном перекрытии трубы.

Рассмотрим трубопровод длиной l и сечением F, по которому со скоростью ω₀ течет жидкость, находящаяся под давлением р₀ (рис. 20, а). При резком (мгновенном) закрытии задвижки

ближайшие в ней частицы останавливаются. Их кинетическая энергия переходит в работу сжатия жидкости и деформации стенок трубы. Граница раздела сжатого остановившегося объема жидкости – ударная волна – распространяется навстречу втекающей невозмущенной жидкости.

П усть за время Δt ударная волна проходит путь Δt. Скорость и давление по длине трубы в момент времени, отделенный интервалом Δt от момента закрытия задвижки, представлены графически на рис. 20, б, в. Из рисунка ясно, что ударная волна является поверхностью разрыва для скорости и давления в трубе.

Определим величину ударного давления Δр, т. е. превышение давления в сжатом объеме над невозмущенным давлением р₀. Для этого применим к объему остановленной жидкости F Δl теорему об изменении количества движения (2.21):

(3.9)

Вследствие малой сжимаемости капельных жидкостей и большой жесткости стенок трубы можно считать, что масса жидкости за время Δt внутри остановившегося объема не изменилась; она равна т = ρF Δt. Изменение скорости составляет . Сила f, вызванная изменением количества движения, есть разность давлений на торцевых поверхностях выбранного объема:

Подставляя эти величины в уравнение количества движения (3.9), имеем

Учитывая, что есть скорость распространения ударной волны, получаем формулу Жуковского:

(3.10)

Отметим, что величина ударного давления при прямом ударе не зависит от длины трубы l.

Скорость ударной волны. В трубе с абсолютно жесткими стенками скорость ударной волны равна скорости распространения упругих колебаний (звука). Выведем ее величину.

Представим себе, что в жидкость, заполняющую трубу (рис. 21) и имеющую модуль объемной упругости Е, вносится возмущение сжатия за счет движения поршня. Пусть за время Δt после начала движения поршень проходит путь Δx. За то же время волна сжатия, которая отделяет невозмущенную, покоящуюся жидкость от начавшей двигаться со скоростью поршня, проходит расстояние Δs.

М ы предполагаем, что возмущение слабое, т. е. Δx << Δs. Сила, с которой поршень сжимает возмущенный объем, пропорциональна его относительному сжатию

(3.11)

С другой стороны, эту силу можно определить по изменению количества движения

в объеме F Δs, применяя уравнение (3.9). Поскольку возмущение слабое, плотность можно считать неизменной и т = ρFΔs. Изменение скорости

Следовательно,

что совместно с (3.11) дает

Но есть скорость распространения волны возмущения в неподвижной жидкости а. Следовательно,

(3.12)

Исключим из уравнения (3.12) модуль объемной упругости жидкости Е. По закону Гука, изменение объема V = F Δs связано с изменением давления Δр соотношением

или

Поскольку масса жидкости внутри возмущенного объема не меняется при прохождении волны сжатия (уменьшение объема компенсируется увеличением плотности), очевидно, что ρV = const. Логарифмируя и дифференцируя последнее равенство, получаем

.

Сравнивая с выражением, полученным ранее из закона Гука, имеем

по формуле (3.12) скорость звука оказывается равной

(3. 12а)

Как видим, скорость звука зависит от отношения возмущений давления и плотности. Она определяется физическими свойствами жидкости [формула (3.12)]. Для воды, например, скорость звука равна примерно 1420 м/сек, для нефти – около 1200 м/сек.

В случае трубы с деформируемыми стенками скорость ударной волны несколько меньше скорости звука. Она определяется формулой

(3.13)

где Е_ст – модуль объемной упругости (модуль Юнга) для материала стенки трубы, D – диаметр, δ – толщина стенки.

Фазы удара. Перемещаясь со скоростью с навстречу втекающей жидкости, волна повышения давления через время – достигает входа в трубу. На этом завершается первая фаза удара – во всей трубе жидкость неподвижна и находится под давлением

В баке, где жидкость имеет свободную поверхность, повышение давления невозможно: у входа в трубу оно остается равным р₀. Поэтому вторая фаза удара начинается с отражения ударной волны. Жидкость начинает вытекать из трубы в бак со скоростью ω₀. Волна повышения давления, отделяющая неподвижную жидкость от вытекающей, отступает по трубе в сторону задвижки со скоростью с. Через время после закрытия задвижки ударная волна возвращается к ней. Жидкость по всей трубе имеет давление р₀ и течет в сторону бака.

Третья фаза удара начинается с резкого падения давления у задвижки. Теоретически давление становится равным . Волна разрежения, которая отделяет неподвижную жидкость, находящуюся под пониженным давлением, от вытекающей из трубы жидкости, давление в которой равно р₀, движется в сторону бака со скоростью с. По достиж ении входа в трубу она снова отражается.

В течение четвертой фазы волна разрежения отступает в сторону задвижки. Жидкость втекает в трубу. К концу четвертой фазы восстанавливается картина течения, которая имела место до закрытия задвижки: вся труба заполнена потоком со скоростью ω₀, давление равно р₀. С этого момента снова начинается первая фаза удара.

Теоретическое изменение давления у задвижки во времени представлено графически на рис. 22, а. В действительности, вследствие потерь энергии в гидравлических сопротивлениях и пластичности материала стенок трубы, колебательный процесс в трубе оказывается затухающим, давления и скорости со временем убывают.

Обычно ударное давление Δр превышает р₀, поэтому в третьей фазе падение давления за волной разрежения, казалось бы, должно приводить к появлению отрицательного давления. Однако в действительности при разрежении до величины давления парообразования начинается кавитация, которая рассеивает часть энергии удара. Начиная с третьей фазы амплитуда колебаний давления уменьшается (рис. 22, б).

Непрямой удар. При постепенном изменении скорости течения (плавное закрытие задвижки) возмущения давления, которые она вносит в поток, распространяются в трубе также со скоростью с. Давление и скорость в каждом сечении трубы изменяются плавно.

Если продолжительность закрытия задвижки t_закр меньше времени, потребного для пробега первых возмущений давления до задвижки и обратно, т. е. , то сумма возмущений давления приводит к такому же повышению давления у задвижки, как и при ее мгновенном закрытии [формула Жуковского (3.10) ]. Если t_закр > Т, то давление у задвижки непрерывно растет только до момента возвращения к ней первых волн повышения давления. Их переход в третью фазу приводит к появлению у задвижки возмущений разрежения, и дальнейший рост давления приостанавливается. Это – непрямой гидравлический удар. Если принять, что скорость течения у задвижки при ее закрытии меняется линейно, то ударное давление Δр, являющееся результатом сложения возмущений, определяется для непрямого удара приближенной формулой

(3.14)

Увеличение времени закрытия задвижки – это простейший способ уменьшения величины ударного давления до безопасных для трубопроводов пределов. Помимо него применяют и ряд других устройств: воздушные колпаки, предохранительные клапаны и пр.

Пример. В стальной трубе (E_ст = 2·10⁶ кгс/см² = 2·10¹⁰ кгс/м²) диаметром 100 мм с толщиной стенки 8,5 мм скорость течения воды до перекрытия задвижки составляла 4 м/сек. Задвижка перекрывается в течение 10 сек. Длина трубы 1000 м. Определить величину ударного давления.

Скорость ударной волны по формуле (3. 13),

.

Время пробега волны от задвижки до входа в трубу и обратно

Получили Т < t_закр, следовательно, удар непрямой. Предполагая, что при закрытии задвижки скорость в трубе меняется во времени линейно, применяем(формулу (3.14):

Отметим, что волновые явления в капельной жидкости при гидравлическом ударе фактически делают неверным термин «несжимаемая жидкость». В абсолютно несжимаемой среде с = ∞, возмущения распространяются мгновенно. Сжимаемостью жидкости можно пренебрегать лишь при скоростях, малых по сравнению со скоростью звука.