4.3. Одномерное течение газа с трением

Изотермическое течение в трубах. В длинных газопроводах без тепловой изоляции температуру газа можно считать постоянной и равной температуре окружающей среды. Вдоль трубопровода давление и плотность уменьшаются, скорость возрастает.

Будем учитывать потери напора на трение вдоль трубы по фор­муле Дарси (2.16), тогда потери на участке трубы длиной dx составят

.

где λ_тр — гидравлический коэффициент трения. Используя уравне­ние энергии в дифференциальной форме (4. 7), составим дифферен­циальное уравнение баланса кинетической и потенциальной энер­гии с учетом потерь на участке dx:

. (4.21)

Из уравнения состояния (4. 1) выразим плотность

,

из уравнения постоянства массового расхода т = ρFw = const –

скорость через давление

. (4.22)

Подставляя эти величины в равенство (4.21), имеем

.

Обозначим давление в начальном сечении трубы через р₁. Тогда давление р₂ в конечном сечении, расположенном на расстоянии l от начального, определится интегрированием последнего уравнения:

. (4.23)

Разрешив равенство (4.23) относительно m, получим формулу для массового расхода газа при изотермическом течении:

. (4.24)

Введем число Маха, которое с помощью выражений для скорости звука (4.5а) и для скорости потока (4.22) можно представить в виде:

.

Очевидно, что отношение давлений обратно пропорционально от­ношению чисел Маха:

,

равенство (4.23) может быть представлено в виде:

. (4.25)

Из полученного уравнения следует, если во входном сечении трубы скорость газа дозвуковая (Mi < 1), то в выходном сечении число М₂ возрастает и может достигнуть единицы.

С оответствующую критическую длину трубы l_кр легко найти, принимая в равенстве (4. 25) М₂ == 1. Если длина равна кри­тической то при понижении давления в конце трубы рас­ход не увеличивается. Гидравлический коэффи­циент трения Х_тг, вообще говоря, является функцией чисел Re, M и относитель­ной шероховатости трубы. Но число Рейнольдса при изотер­мическом течении вдоль трубы не меняется; действительно, если представить его в виде

,

где μ – динамический коэффициент вязкости, то видно, что и чис­литель, и знаменатель – постоянные величины (ρw=const по уравнению неразрывности; μ газов зависит только от температуры; при постоянной температуре изотермического течения μ=const). Как показали опыты Фрёсселя, гидравлический коэффициент тре­ния λ_тр для газов при небольших числах Маха практически не за­висит от М. Поэтому для изотермического течения газов λ_тр не ме­няется по длине трубы и может определяться по формулам гидрав­лики (§ 3.1, табл. 3).

Адиабатное течение в трубах. В случае короткого трубопро­вода, когда газ не успевает обменяться теплом со стенками, или при наличии тепловой изоляции полная энергия газа по длине трубы остается постоянной; работа, расходуемая на трение, полностью переходит в теплоту, идущую на нагрев газа. Здесь удобно приме­нить уравнение энергии в форме (4. 8д). Принимая во внимание, что энтальпия i = c_pT, запишем его в виде:

. (4.26)

Как показывает уравнение (4.26), понижение температуры по сравнению с начальным сечением зависит только от скорости в данном сечении, а от сопротивления не зависит. Температура торможения вдоль трубы не меняется: Т₀ = const.

В дозвуковом потоке нагревание газа вследствие трения приво­дит к уменьшению плотности; из-за постоянства массового расхода скорость при этом возрастает. Это возрастание возможно вплоть до величины скорости звука а_кр, которая может иметь место в выход­ном сечении трубы при достаточно большой начальной скорости w₁ и достаточно малой длине трубы l. При этом в конце трубы наблю­дается резкое падение давления. На рис. 28 показаны кривые из­менения давления по длине трубы разной длины, полученные Фрёсселем экспериментально. Длина трубы отложена по оси абс­цисс в долях

-(в «калибрах»). Числа, проставленные у кривых,

показывают расход в долях максимального расхода, который можно получить при том же перепаде давления в случае истечения через короткий насадок с диаметром, равным диаметру трубы.