6.2. Функция тока и потенциал скорости

Уравнение линии тока. Вектор скорости частицы w направлен по касательной к линии тока S; для плоского течения это показано на рис. 53. Пусть w_x, w_y — проекции вектора скорости на координатные оси. Из рис. 53 следует, что

, ,

где ds – элемент дуги линии тока. Составим производные пропорции:

, ,

откуда

. (6.5)

Мы получили уравнение линии тока для плоского течения. В слу­чае трехмерного (пространственного) потока уравнения линии тока выводятся аналогично и имеют вид:

. (6.5а)

Функция тока для двухмер­ного течения. Дифференциальное уравнение линии тока плоского течения (6.5) может быть пред­ставлено в виде:

. (6.5б)

Введем такую «функцию тока» ψ(x, y), полный дифференциал которой равен левой части выражения (6.5б):

. (6.6)

Поскольку на линии тока согласно формуле (6.5б) dψ = 0, оче­видно, что функция тока сохраняет вдоль линии тока постоянное значение.

Полный дифференциал функции двух переменных ψ имеет вид:

Рис. 53

.

Сравнивая это выражение с формулой (6.6), получаем, что про­изводные функции тока определяются зависимостями:

, . (6.7)

Сама функция тока может быть определена интегрированием вы­ражения (6.7).

Рис. 54

К онтур поверхности тела, обтекаемого потоком идеальной жид­кости, сам является линией тока: в некоторой «критической» точке набегающий поток раздваивается и огибает тело. Следовательно, на обтекаемой поверхности функция тока постоянна. Но можно, наоборот, рас­сматривать любую линию тока как контур сечения твердого тела. Действи­тельно, если заменить об­ласть, ограниченную ли­нией тока твердым телом, то остальные линии тока не изменятся (так как жидкость мы считаем иде­альной, трение отсут­ствует). Они дают картину обтекания такого тела. В этом состоит принцип отвердения линий тока, широко применяемый в гидродинамике идеальной жидкости. Если, напри­мер, считать отвердевшими линии тока, проходящие на рис. 54 по координатным осям х, у, то получится картина течения внутри прямого угла.

Потенциал скорости. Функцией скоростного потенциала или - сокращенно — потенциалом скорости φ (х, у, z) называется та­кая функция, частные производные которой равны составляющим вектора скорости по соответствующим координатным осям:

, , . (6.8)

Полный дифференциал функции φ равен

. (6.9)

Сама функция скоростного потенциала определяется интегрирова­нием выражения (6. 9).

Рис. 55

В ведение потенциала скорости позволяет заменить вектор­ное поле скорости течения, для изучения которого нужно знать три компоненты по координатным осям, распределением в про­странстве одной скалярной функции φ, что значительно упрощает исследование. В механике твердого тела вводится ана­логичное понятие «потенциала силы»; это скалярная функция, про­изводные от которой равны составляющим силы по координатным осям. Такую же природу имеет в электротехнике понятие потен­циала электрического поля: вместо задания в пространстве вектор­ной величины напряженности поля вводится скалярная функция потенциала V, производные от которой по координатным осям равны соответствующим компонентам вектора напряженности.

Придавая функции φ определенные значения, получаем уравне­ния поверхностей равного потенциала, или эквипотенци­альных поверхностей (в случае двухмерного течения — линий равного потенциала, или эквипотенциалей).

Рассмотрим связь потенциала скорости и функции тока. В слу­чае плоского (двухмерного) течения w_z = 0; дифференциал функ­ции тока выражается формулой (6. 6), дифференциал функции ско­ростного потенциала, из равенства (6. 9), формулой

.

Пусть линия тока ψ = const такого течения представлена на рис. 55 сплошной линией, эквипотенциаль φ = const — пунктир­ной линией.

Проведем к этим линиям касательные в точке их пересечения А. Угол наклона прямой АВ к оси абсцисс определится согласно урав­нению (6. 5б) выражением

;

угол наклона прямой AD выражением

.

Очевидно, что и угол β между касательными равен 90º.

Таким образом, функция тока ψ и потенциал скорости φ взаимно ортогональны; линии тока и эквипотенциали пе­ресекаются всегда под прямым углом. Это позволяет по известным эквипотенциалям строить линии тока и наоборот. Семейства линий ψ (х, у) = const и φ (х, у) = const, нанесенные на один чертеж, на­зываются гидродинамической сеткой течения. Пример такой сетки был приведен на рис. 54.

Сравнивая выражения для составляющих скорости плоского течения w_x и w_y через функцию тока ψ (6.7) и функцию скорост­ного потенциала φ (6.8), видим, что функции ψ и φ связаны усло­виями:

, . (6.10)

В математике эти условия называются условиями Коши—Римана. При их соблюдении оказывается возможным использовать для ис­следования функций ψ и φ математический аппарат теории функций комплексной переменной, который широко применяется в теории потенциального обтекания геометрически правильных тел.

В § 18 указывалось, что угловая скорость вращения жидкой частицы в плоском потоке определяется формулой (6.6). Если те­чение потенциально, т. е. существует некоторая функция скорост­ного потенциала φ, производные которой равны соответствующим компонентам вектора скорости, то согласно выражению (6.8) имеем

.

Равенство нулю угловой скорости вращения свидетельствует о том, что потенциальное течение — безвихре­вое, т. е. вращение частиц в нем отсутствует. Как будет показано в дальнейшем, у твердых поверхностей, ограничивающих поток, вследствие вязкости всегда формируются зоны вращательных дви­жений, поэтому вблизи стенок теория потенциального обтекания неприменима. Однако для изучения внешнего потока теория по­тенциала используется с большим успехом.

Применим к потенциальному течению несжимаемой жидкости уравнение неразрывности (2.7):

.

Подставляя в него выражения для компонентов скорости через функцию скоростного потенциала (6.8), получаем

. (6.11)

Это уравнение известно в математической физике под названием уравнения Лапласа. Таким образом, для нахождения функции φ, полностью определяющей кинематику потенциального потока, необходимо решить уравнение Лапласа.

Дифференциальное уравнение в частных производных (6. 11) имеет бесчисленное множество решений, поэтому должны быть за­даны дополнительные (граничные) условия для данной конкретной задачи. Как уже говорилось в § 2.2, к таким условиям относятся за­дание скорости в удалении от обтекаемого тела w_∞ и условие ра­венства нулю на поверхности тела нормальной составляющей ско­рости. При этом предполагается, что жидкость обтекает тело без отрывов. У поверхности тела скорость направлена по касательной (имеет место «скольжение» жидкости).

В силу того, что сумма любого числа частных решений уравне­ния Лапласа является также его решением, оказывается возмож­ным суммировать потенциалы скорости простейших течений для получения картины сложного течения. В этом состоит идея метода наложения потенциальных потоков.

Моделирование потенциальных течений. Исследование обтека­ния реальных тел аналитическими методами представляет в общем случае большую математическую сложность. Отыскание функции скоростного потенциала или функции тока, например, для лопа­точных профилей наперед заданной формы оказывается весьма трудным. Эта задача существенно упрощается с использованием метода аналогий. Наибольшее развитие к настоящему времени по­лучило исследование потенциальных потоков методом электрогид­родинамической аналогии (ЭГДА). Он базируется на следующих положениях.

Согласно выводам теоретической электротехники распределение электрического потенциала в проводнике, как и распределение по­тенциала в безвихревом потоке идеальной жидкости, подчиняется уравнению Лапласа. Действительно, закон Ома, связывающий силу тока с распределением потенциала электрического поля, записы­вается в дифференциальной форме следующим образом:

; ; . (6. 12)

Здесь i — плотность тока, т. е. количество электричества, проте­кающее в 1 сек, через единицу площади проводника; V - электри­ческий потенциал; С — коэффициент электропроводности (вели­чина, обратная удельному сопротивлению).

По закону Кирхгофа, уравнение сплошности электрического тока имеет вид:

,

т. е. оно аналогично уравнению неразрывности (2.7). Подставим в него значение i из системы (6.12). При постоянной электропро­водности среды C уравнение сплош­ности принимает вид:

, (6.11а)

т . е. мы опять получили уравнение Лапласа.

Рис. 56

Таким образом, электрический потенциал V аналогичен потен­циалу скорости φ, удельная плот­ность электрического тока - ана­логична скорости течения w. По­этому, если область распростране­ния электрического тока геомет­рически подобна области течения жидкости, а граничные условия для V и φ аналогичны, интегралы уравнения Лапласа (6. 11) и (6.11a) будут отличаться лишь про­извольными постоянными. Эквипотенциальные поверхности в элек­трическом поле V (х, у, z) = const в этом случае соответствуют эк­випотенциальным поверхностям в потоке жидкости φ (х, у, z) = const, а силовые линии в электрическом поле соответствуют ли­ниям тока в жидкости. Практическое использование этой аналогии состоит в том, что уравнение Лапласа решается на установке ЭГДА, а результаты решения переносятся на поток жидкости.

Для решения задач плоского потенциального обтекания сейчас преимущественно используются модели, в которых в качестве элек­тропроводного материала применяется бумага с графитовым по­крытием. Для измерения потенциалов в различных точках модели измерительная цепь собирается по мостовой схеме (рис. 56). По­стоянный или переменный ток от источника тока подводится к ши­нам Ш1 и Ш2. Параллельно шинам подключен потенциометр R, на скользящем контакте К которого можно задавать любые проме­жуточные значения электрического потенциала между потенциа­лами шин Ш1 и Ш2. Указателем равновесия моста является гальва­нометр Г, включенный в цепь щупа Щ. Прикасаясь щупом Щ к какой-либо точке графитированной бумаги, мы подаем на щуп элек­трический потенциал данной точки.

Граничные условия в моделируемом потоке жидкости таковы:

1. Вдали от обтекаемого тела на линиях, перпендикулярных вектору скорости (им соответствуют линии установки шин на модели, рис. 56), потенциал скорости φ сохраняет постоянное значение: φ = const.

2. На поверхности обтекаемого тела (ей соответствует вырезанный участок на электропроводной бумаге) .

Задавая на потенциометре различные значения электрического потенциала V, с помощью щупа находят на модели точки, принад­лежащие линиям равного потенциала. В этих точках ток в цепи щупа равен нулю, стрелка гальванометра не отклоняется. В этом состоит «аналогия А», позволяющая построить эквипотенциали пло­ского потока.

В силу взаимной ортогональности функций скоростного потен­циала φ и тока ψ на установке ЭГДА можно также смоделировать течение таким образом, чтобы линии равного потенциала электри­ческого поля соответствовали линиям тока в жидкости, силовые линии — эквипотенциалям в потоке жидкости. В этом случае на участок модели, соответствующий обтекаемому телу, наклеивается электропроводным клеем модель сечения тела, вырезанная из ма­териала, электропроводность которого во много раз превосходит электропроводность бумаги. Шины размещаются по сторонам модели вдоль потока. Построив с помощью щупа эквипотенциали элек­трического поля, мы получим картину линий тока в потоке жидко­сти. Этот способ получил название «аналогии B».

Построение гидродинамической сетки течения методом ЭГДА осуществляется быстро, не требует высокой квалификации испол­нителей или сложного оборудования и в то же время обеспечивает высокую точность решения. Этим объясняется его широкое приме­нение.