7.3. Подобие потоков при действии различных сил

Гравитационное подобие. Пусть в потоке основной действующей силой является сила тяжести G. Ее можно представить для частицы массы m как

где g – ускорение силы тяжести; l – характерный размер частицы. Согласно закону динамического подобия Ньютона отношение сил тяжести, действующих на сходственные частицы натуры и модели, подчиняется равенству (7.3):

Из последнего выражения следует:

(7.6)

Безразмерное число носит название числа Фруда. Таким образом, если в рассматриваемом потоке определяющей является сила тяжести, то на динамически подобной модели и в натуре; числа Фруда должны быть тождественными. Соблюдение постоянства числа Fr отвечает частичному подобию по действию силы тяжести.

Гравитационное моделирование широко применяется для исследования явлений, связанных с движением несжимаемых жидкостей под действием силы тяжести. В частности, при движении судна на поверхности воды образуются волны, давление которых составляет значительную часть лобового сопротивления. Эксперименты по определению силы сопротивления судна проводятся в специальных бассейнах. Поскольку в лабораторных условиях обычно g = g_м, то из уравнения (7.6) следует, что

(7.7)

т. е. при гравитационном подобии масштаб скоростей пропорционален квадратному корню из масштаба длин. Например, если модель судна выполнена в масштабе натуральной величины, то скорость ее протаскивания в бассейне должна составлять скорости натурного судна.

Вязкостное подобие. Пусть в потоке основную роль играют силы вязкого трения Т. Это справедливо для тех случаев, когда относительная роль силы веса мала по сравнению с силами вязкого трения. Силы вязкого трения определяются формулой Ньютона (1.4). Выражая площадь соприкосновения слоев F через квадрат характерного размера частицы l², а градиент скорости через отношение характерной скорости к характерному размеру , запишем выражение (1.4) в виде:

С использованием закона динамического подобия Ньютона (7.3) получаем

.

Последнее равенство может быть представлено в виде:

Принимая во внимание, что , где ν – кинематический коэффициент вязкости, имеем

(7.8)

отношение называется числом Рейнольдеа.

Таким образом, если в рассматриваемом потоке определяющая – сила трения, то модель будет динамически подобна натуре, если вычисленные для них числа Рейнольдса одинаковы. Соблюдение постоянства числа Re отвечает частичному подобию по действию силы вязкого трения.

Вязкостное моделирование применяется главным образом при определении силы сопротивления. В частности, из гидравлики известно влияние числа на гидравлическое сопротивление трубы при ламинарном и турбулентном режимах (в данном случае в качестве характерного размера потока использовался диаметр трубы D). В качестве другого примера на рис. 71 представлена полученная в опытах зависимость коэффициента лобового сопротивления шара от числа (здесь d – диаметр шара).

Как показано в § 3.1, число Рейнольдса выражает в безразмерном виде соотношение между силами инерции и вязкости. Если Re мало, то в потоке преобладают силы вязкого трения. Если Re велико, то главную роль играют силы инерции. Для этих двух случаев законы сопротивления очень сильно отличаются друг от друга, в чем мы уже убедились при рассмотрении потерь напора по длине трубы.

Масштаб скоростей при вязкостном подобии может быть определен из уравнения (7.8):

, (7.9)

т. е. он обратно пропорционален масштабу длин и пропорционален масштабу коэффициентов вязкости. Если опыты (например, в аэродинамической трубе) проводятся с той же средой (воздухом), что и для натурного объекта, то согласно формуле (7.9) уменьшение масштаба модели должно вызывать пропорциональное увеличение скорости продувки модели ω_м. Если натурные скорости достаточно велики, то соответствующие модельные будут, во-первых, трудно достижимы, а, во-вторых, их осуществление привело бы в область сжимаемых потоков, в которых критерий подобия совсем иной (см. следующий пункт настоящего параграфа). Поэтому при продувках в аэродинамической трубе часто приходится мириться с несоблюдением точного подобия сил трения.

Подобие движения сжимаемых сред. При движении сжимаемых жидкостей (газов) в области малых скоростей их можно рассматривать как несжимаемые. По мере возрастания скорости потока влияние сил упругости все возрастает и при скоростях, близких к скорости звука, становится преобладающим по сравнению с влиянием вязкости и весомости.

Если Е – модуль объемной упругости газа (модуль Юнга), имеющий размерность н/м² (или кгс/м²), то сила давления вследствие сжимаемости среды ΔP на площадку площадью l² равна

Риc.72

ΔР = Еl².

Как показано в § 4.1, скорость звука в сжимаемой среде выражается через мо дуль упругости и плотность формулой (3.12):

,

откуда Е = a². Таким образом,

Δp = a²l².

Согласно закону динамического подобия Ньютона (7.3) отношение сил избыточного давления вследствие упругости среды для модели и натуры равно:

или

(7.10)

где –- число Маха.

Итак, чтобы два сравниваемых потока были подобны по действию сил, возникающих вследствие сжимаемости среды, необходимо, чтобы в опыте и в натурных условиях были одинаковыми числа М.

Число Маха сильно влияет на величину аэродинамических коэффициентов. На рис. 72 дана зависимость коэффициентов лобового сопротивления различных тел – цилиндра с продольной осью, направленной по течению, шара и снарядов разной формы – от числа М. Зависимость величины С_х от числа Маха связана с появлением скачков уплотнения (см. § 5.3).

Подобие колебательных движений в жидкости. На практике часто встречаются периодически повторяющиеся движения в потоке жидкости. Таковы, например, колебания турбинной лопатки или крыла самолета, вращение пропеллера. При движении в жидкости плохо обтекаемых тел (например, поперечно поставленной пластинки или цилиндра) с их поверхности срываются вихри, сохраняющие в потоке шахматный порядок (так называемая дорожка Кармана, рис. 73).

Рис. 73

При экспериментальном исследовании периодически повторяющихся процессов необходимо соблюдать на модели кинематическое подобие с натурным процессом, состоящее в том, что частицы в сходственных точках модели и натуры

проходят пути L в пропорциональные отрезки времени Т. Следовательно, для кинематического подобия колебательного процесса необходимо, чтобы в натуре и на модели были постоянными отношения

(7.11)

Число называется числом Струхаля.

Опыт показывает, в частности, что для широкого диапазона условий срыв вихрей с поверхности цилиндра диаметром D происходит при , т. е. период схода вихрей равен .

Полное и частичное подобие. Изложенные условия динамического подобия являются основой для правильной постановки модельного эксперимента. Однако в натуре обычно основные силы действуют не порознь, а совместно. Поэтому основные характеристики потока оказываются зависящими не от какого-либо одного критерия подобия – Fr, Re, М или Sh, а от их сочетания. В частности, коэффициент лобового сопротивления обтекаемого тела есть функция нескольких переменных:

С_x = f(Fr, Re, М, Sh)

и к тому же зависит от формы и расположения тела в потоке, степени турбулентности потока и, возможно, других факторов.

Осуществить полное подобие всех действующих сил на модели часто не удается. Например, при обтекании корабля, наряду с сопротивлением волн, обусловленным силой тяжести, важную роль играет и сопоставление вязкого трения. Поэтому на модели нуэно было бы обеспечить как гравитационное, так и вязкостное подобие. Приравнивая для этого случая соответствующие выражения для масштабов скоростей [выражения (7.7) и (7.9)], получим:

.

Таким образом, для одновременного осуществления на модели и в натуре тождественности критериев Фруда и Рейнольдса необходимо ставить опыты в жидкости, вязкость которой удовлетворяет последнему равенству. Для примера, рассмотренного в разделе о гравитационном подобии (протаскивание в бассейне модели судна в масштабе натуральной величины), пришлось бы использовать жидкость с вязкостью, в 64 раза меньшей вязкости воды. Таких жидкостей в природе нет. Поэтому приходится удовлетворяться частичным подобием, воспроизводя на модели лишь сопротивление волн, а сопротивление вязкого трения рассчитывать аналитически с использованием теории пограничного слоя.

Еще более неблагоприятно обстоит дело при необходимости удовлетворить в одном опыте требованию о тождественности трех критериев, например Re, М и Sh. Поэтому в ряде случаев целесообразно стремиться к постановке натурного эксперимента, т. е. к проведению опыта в условиях натурного объекта (турбины, самолета и др.).

8. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ