5. Скачки уплотнения

5.1. Прямой скачек

Возникновение скачка. Конечное по величине изменение давле­ния можно рассматривать как сумму следующих друг за другом малых возмущений. С конечным возмущением сжатия в капельной жидкости мы познакомились в § 3.3, посвященном гидравлическому удару.

Р ис.35

Рассмотрим теперь процессы распространения конечных воз­мущений в газе.

Пусть в трубе с неподвижным газом (рис. 35) начинает ускоренно перемещаться поршень и по достижении скорости w продолжает двигаться равномерно. В отличие от вывода формулы для скорости звука (§ 3.3) считаем скорость w не малой по сравнению с а. Впереди поршня распространяется волна сжатия С, которая отделяет неподвижный невозмущенный газ от сжатого поршнем. На рис. 35 область волны сжатия покрыта точками.

Основание, или «подножие», волны сжатия (О на рис. 35) движется вправо со скоростью, равной скорости звука в покоя­щемся газе а₀. Гребень волны сжатия (Г на рис. 35) движется быстрее: здесь больше скорость распространения возмущений, так как при сжатии газ нагревается. Кроме того, к этой скорости здесь добавляется скорость движения газа вместе с поршнем w. В результате гребень догоняет основание, и в последовательные моменты времени t₁, t₂, t₃ возрастание давления в волне сжатия становится все более резким. Наконец, на некотором расстоянии от поршня возникает ударная волна – прерывное изменение давления, в котором параметры газа меняются очень резко на рас­стоянии порядка длины свободного пробега молекулы, т. е. при нор­мальных условиях — порядка микронов. Ударная волна движется в газе со скоростью w₁, превышающей скорость звука.

Сзади поршня по трубе распространяется волна разре­жения Р. Скорость распространения гребня волны разрежения равна а₀, тогда как скорость основания меньше — здесь сказывается охлаждение газа и его течение за поршнем. Поэтому волна разреже­ния делается все более пологой; ударные волны воз­можны только в волнах уплотнения.

Прерывное изменение параметров газа и скорости течения наблюдается также и при обтекании неподвижного тела сверхзву­ковым потоком. Если, например, обтекаемое тело имеет спереди затупленную форму, то торможение газа в лобовой части приводит к появлению здесь области дозвуковых скоростей. Волны повыше­ния давления от тела распространяются в этой области дозвуковых скоростей и навстречу потоку, но на сравнительно небольшое рас­стояние — до скачка уплотнения, расположенного перед телом. В скачке уплотнения сверхзвуковая скорость потока прерывно пе­реводится в дозвуковую. До перехода через скачок сверхзвуковой поток остается невозмущенным — волны давления от обтекаемого тела распространяются со скоростью звука, а скорость потока ее превышает.

Если система координат связывается с областью прерывного сжатия газа (или с обтекаемым телом, относительно которого она неподвижна), то эта область прерывного изменения параметров газа называется скачком уплотнения. Сквозь него протекает газ, имея сверхзвуковую скорость w₁ на входе и w₂= w₁- w на выходе. Температура, давление и плотность в скачке мгновенно возрастают.

Если система координат связана с неподвижным газом, в котором распространяется со сверхзвуковой скоростью область прерывного сжатия, то эта область называется ударной волной. Физи­ческие процессы, происходящие в скачке уплотнения и в ударной волне, одинаковы, поэтому иногда оба эти названия применяют для одного и того же явления (например, скачок уплотнения перед затупленной передней частью тела называют «головной удар­ной волной», [Л. 7]).

Изменение параметров газа в прямом скачке. Прерывное уплот­нение сжатия, которое расположено по нормали к вектору скорости (рис. 36), называется прямым скачком уплотнения.

Рассмотрим движение газа через прямой скачок уплотнения. Исходные уравнения:

1. Уравнение неразрывности (4.9), имеющее в данном случае вид:

(5.1)

2. Уравнение количества движения (2.22), приводящееся к виду:

(5.2)

3. Уравнение энергии в форме:

(5.3)

Если заданы три величины, например w₁, р₁, ρ₁, то из приведенных уравнений могут быть определены три остальные: w₂, p₂, ρ₂.

Приведем основные результаты совместного решения исходных урав­нений.

Представим уравнение энергии (5.3) с использованием (4.8г) и (4.16) в виде:

Рис. 36

.

Выразим отсюда отношение (перед скачком) и (после скачка):

; .

Если теперь разделить уравнение (5.2) на (5.1):

и подставить полученное ранее значение , получим

.

Разделив на w₁-w₂ (деление возможно, так как на скачке скорость изменяется, ) и выполнив алгебраические преобразования, получим, что скорости w₁ и w₂ связаны между собой соотношением

, или . (5.4)

Следовательно, в прямом скачке уплотнения сверхзвуковой поток (λ > 1) всегда переходит в дозвуковой (λ < 1).

Определим разность скоростей (для ударной волны это – скорость, которую газ имеет за ударной волной; на рис. 35 — скорость движения газа вместе с поршнем). Из соот­ношения (5.4)

. (5.4)

Возрастание давления в скачке р₂ – р₁ получим, подставляя раз­ность скоростей w₁ – w₂ в уравнение (5.2):

. (5.5)

Возрастание плотности ρ₂ – ρ₁ найдем из уравнения неразрывности и соотношения (5.4); так как , то

(5.6)

Рис. 37

И з равенств (5.4) — (5.6) следует, что изменение пара­метров на скачке тем резче, чем больше λ₁, т. е. его интенсивность усиливается с ростом сверхзвуковой скорости на входе в скачок. На рис. 37 представлена зависимость величин и

от безразмерного отношения скоростей λ для воздуха (k = 1,4); по оси абсцисс отложены также соответствующие значения чисел М.

Ударная адиабата. Рост энтро­пии и потеря давления в прямом скачке.. Безразмерная скорость газа λ –

величина ограниченная.

Действительно,

,

или, с использованием соотношений (4. 15) и (4. 16),

(для воздуха λ_max = 2,449; это значение λ соответствует М = ∞). Поэтому возрастание плотности в скачке уплотнения (формула 5.6) оказывается ограниченным:

.

Для воздуха (k = 1,4) возможно максимальное уплотнение в скачке в 6 раз.

В то же время известно, что при обратимом (изоэнтропическом) адиабатном сжатии

.

т. е. при возрастании давления плотность возрастает неограниченно.

Связь между давлением и плотностью в скачке может быть по­лучена из совместного решения уравнений (5.5) и (5.6). Она назы­вается ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио (приводится без вывода):

. (5.7)

На рис. 38 представлено изменение давления при изменении плотности воздуха для изоэнтропического сжатия [зависимость (6.2), кривая 1] и для сжатия в скачке уплотнения [уравнение (5.7), кривая 2]. Асимптота адиабаты Гюгонио показана пунктиром.

Рис. 38

К ак известно из термодинамики, при теплообмене между телами, вхо­дящими в систему, энтропия системы возрастает. При течении газа без скачков теплообмен между частицами пренебрежимо мал, движение изоэнтропическое. В то же время процесс сжатия газа в скачке уплотнения — не изоэнтропический, эн­тропия в скачке нарастает. Это про­исходит вследствие передачи тепла от уплотненного и нагретого объема газа к невозмущенному газу процес­сами теплопроводности; температура в скачке резко меняется на очень малом расстоянии толщины ударной волны, порядка микронов.

Доля кинетической энергии частицы газа единичной массы, равная

[дж/кг],

переходит в тепловую энергию. Однако при расширении газа от давления р₂ снова до давления р₁ эта тепловая энергия не полностью преобразуется снова в кинетическую. Потери механической энер­гии характеризуются коэффициентом восстановле­ния давления σ, равным отношению давлений торможения за скачком и до скачка:

. (5.8)

Коэффициент восстановления давления приходится вводить, на­пример, при измерении скорости сверхзвукового потока трубкой Пито (см. рис. 43, б): в скачке уплотнения, который появляется перед трубкой, происходят потери давления. Отметим, что темпе­ратура торможения, характеризующая полную энергию газа, одинакова для изоэнтропического и скачкового сжа­тия. Действительно, при переходе через скачок уменьшается ме­ханическая энергия частиц газа и возрастает их внутренняя (теп­ловая) энергия. Полная же энергия, мерой которой является тем­пература торможения, остается неизменной.

П араметры газа за прямым скачком и величины коэффициента восстановления давления приводятся в таблицах прямых скачков облегчающих решение задач. Такие таблицы даны.

Рис. 39

Важное практическое значение имеют прямые скачки в расширяю­щейся части сопла Лаваля (рис. 39). Эти скачки появляются в случае не­расчетного истечения при достаточно большом противодавлении на выходе из сопла. В прямом скачке скорость переходит в дозвуковую и резко рас­тет давление; если, например, скачок занимает положение I—I, давление в расширяющейся части сопла изме­няется по линии КАВС (кривая 1). При дальнейшем возрастании противо­давления скачок приближается к наи­меньшему сечению сопла, давление изменяется по кривым 2, 3, 4. Наконец, если противодавление достаточно велико, течение в сжатом сечении сопла становится дозвуковым, давление изменяется по кривой 5, скорость — по кривой I на рис. 24.