2. Основные понятия и уравнения гидродинамики

2.1. Определения кинематики жидкости. Неразрывность

Основные определения. Задачей гидродинамики является определение скоростей и давлений жидкости в различных точках потока и в различные моменты времени t. В общем случае вектор скорости w и давление р являются функциями четырех переменных:

Если скорость и давление в любой фиксированной точке потока остаются неизменными во времени (т. е. являются функциями только координат х, у, z), то течение называется установившимся. Пример установившегося течения – истечение жидкости из бака под постоянным напором. Если скорость и давление меняются со временем, то течение – неустановившееся. Например, если при истечении из бака убыль жидкости не восполняется, то напор, скорость и давление в любой точке постепенно уменьшаются, это течение неустановившееся.

Мгновенную картину течения наглядно представляют линии тока (рис. 4,а). В каждой точке линии тока вектор скорости направлен по касательной к ней. При установившемся течении линии тока совпадают с траекториями частиц, при неустановившемся течении они могут не совпадать.

Если провести линии тока через все точки элементарно-малого контура, то образованная ими поверхность ограничит элементарную струйку (рис. 4,б). В элементарной струйке жидкость течет, не смешиваясь с соседними объемами, так как, по определению, векторы скорости направлены по касательной к ее поверхности. Площадь сечения струйки dF выбирают достаточно малой для того, чтобы вектор скорости ω оставался в этом сечении неизменным по величине.

Объем жидкости, протекающей через сечение струйки в единицу времени, называют элементарным расходом dQ. Он равен произведению длины вектора скорости на площадь сечения струйки

(2.1)

Размерность расхода – м³/сек.

Рассматривая поток жидкости, такой, например, как в трубе или канале, допустимо считать, что он состоит из большого числа элементарных струек. В этом случае сечение потока (в гидравлике его называют «живым сечением») равно сумме сечений элементарных струек. Расход потока есть сумма расходов струек, в пределе – интеграл по площади сечения:

(2.2)

При известном расходе Q легко определить среднюю скорость потока ω_cp в данном сечении:

(2.З)

Для характеристики торможения потока твердыми стенками кроме сечения F в гидравлике вводятся еще понятия смоченного периметра χ – периметр сечения в пределах соприкосновения с твердыми стенками трубы или канала, и гидравлического радиуса R, причем

(2.4)

Размерность смоченного периметраи гидравлического радиуса – м. Как видно из выражения (2.4), гидравлический радиус характеризует компактность сечения потока. Для круглой трубы радиуса r, например, гидравлический радиус

Уравнение неразрывности для одномерного течения. Если в потоке между какими-нибудь двумя его сечениями количество жидкости не пополняется извне и не убывает (нет источников и стоков), то масса протекающей через эти два сечения жидкости сохраняется неизменной. Математически этот принцип выражается уравнением неразрывности (это название подчеркивает, что в рассматриваемых сечениях поток сплошной, не содержит полостей и разрывов).

Наиболее просто записывается уравнение неразрывности для установившегося одномерного течения, в котором скорость меняется Только в направлении одной продольной координаты. Примерами одномерного течения являются элементарная струйка, движение в трубе и канале. Для элементарной струйки несжимаемой жидкости принцип сохранения массы выражается через постоянство объемного расхода (2.1) в струйке (рис. 4,б):

(2.5)

Очевидно, что для потока в трубе или канале необходимо постоянство расхода, вычисленного по средней скорости ω_ср:

(2.5а)

В случае одномерного течения сжимаемой жидкости принцип неразрывности требует постоянства массового расхода, который равен произведению объемного расхода на плотность р:

(2.6)

Одномерное течение несжимаемой жидкости является предметом изучения гидравлики. В отличие от нее гидродинамика рассматривает более сложные двухмерные и трехмерные потоки, в которых скорость может изменяться в направлении двух или трех координатных осей.

Уравнение неразрывности для трехмерного течения несжимаемой жидкости. Выберем в потоке фиксированный в пространстве элементарный объем в форме параллелепипеда с ребрами dх, dy, dz (рис. 5). Пусть у левой грани этого объема составляющая скорости в направлении оси x равна ω_x. По достижении правой грани эта составляющая может измениться и стать равной

Через левую грань за единицу времени втекает внутрь параллелепипеда объем жидкости, равный произведению нормальной составляющей скорости на площадь грани: ω_xdydz.

Через правую грань вытекает объем

Суммарное поступление жидкости через левую и правую грани равно разности:

Аналогично получим, что через грани, перпендикулярные оси у (задняя и передняя грани на рис. 5), суммарное поступление жид- кости внутрь параллелепипеда равно . Через грани,

перпендикулярные оси z (нижняя и верхняя на рис. 5), поступает

объем . Здесь ω_y и ω_z – составляющие скорости

в направлении осей у и z. Если внутри параллелепипеда нет источников и стоков, т. е. объем жидкости в нем не меняется, то суммарный расход через все грани равен нулю:

Разделив последнее равенство на объем параллелепипеда dx dy dz, получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме

(2.7)

При выводе уравнения неразрывности мы не учитывали сжимаемости жидкости. В наиболее общем случае неустановившегося движения сжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид (приводится без вывода):

(2.7а)