7.2. Частные случаи приведения пространственной системы сил

Если при приведении системы сил к динамическому винту главный момент динамы оказался равен нулю, а главный вектор отличен от нуля, то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, причем центральная ось является линией действия этой равнодействующей.

Выясним, при каких условиях, относящихся к главному вектору и главному моменту , это может быть. Поскольку главный момент динамы равен составляющей главного момента , направленной по главному вектору, то рассматриваемый случай означает, что главный момент перпендикулярен главному вектору, т.е. . Отсюда непосредственно вытекает, что если главный вектор не равен нулю, а второй инвариант равен нулю,

, , (7.9) то рассматриваемая система приводится к равнодействующей.

В частности, если для какого-либо центра приведения , а , то это означает, что система сил приведена к равнодействующей, проходящей через данный центр приведения; при этом условие (7.9) также будет выполнено.

Обобщим приведенную ранее теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона) на случай пространственной системы сил.

Если пространственная система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов всех сил относительно той же точки.

Пусть система сил имеет равнодействующую и точка О лежит на линии действия этой равнодействующей. Если приводить заданную систему сил к этой точке, то получим, что главный момент равен нулю.

Возьмем какой-либо другой центр приведения ; тогда

. (7.10) С другой стороны, на основании формулы (4.14) имеем

, (7.11) так как . Сравнивая выражения (7.10) и (7.11) и учитывая, что в данном случае , получаем

. (7.12) Таким образом, теорема доказана.

Пусть при каком-либо выборе центра приведения , . Так как главный вектор не зависит от центра приведения, то он равен нулю и при любом другом выборе центра приведения. Поэтому главный момент не меняется при перемене центра приведения, и, следовательно, в этом случае система сил приводится к паре сил с моментом .

Составим теперь таблицу всех возможных случаев приведения пространственной системы сил:

				Случай приведения
1				Динамический винт
2				Равнодействующая
3				Пара сил
4				Система сил эквивалентна нулю

Если все силы находятся в одной плоскости, например, в плоскости , то их проекции на ось и моменты относительно осей и будут равны нулю. Следовательно,

, , .

Внося эти значения в формулу (7.5), найдем, что второй инвариант плоской системы сил равен нулю.

Тот же результат мы получим и для пространственной системы параллельных сил. Действительно, пусть все силы параллельны оси . Тогда проекции их на оси , и моменты относительно оси будут равны нулю. Отсюда

, , .

Пользуясь снова формулой (7.5), найдем .

На основании доказанного можно утверждать, что плоская система сил и система параллельных сил в пространстве не приводятся к динамическому винту.

Задача 7.1. Систему двух сил и , направленных параллельно осям и , как указано на рис. (расстояние между точками приложения сил равно ), требуется привести к динаме, определив главный вектор и главный момент динамы. Найти углы , и , составляемые нейтральной осью системы с координатными осями, а также уравнение нейтральной оси.

Решение. Возьмем за центр приведения начало координат О. Проекции главного вектора на оси координат будут

, , .

Модуль главного вектора

.

Направляющие косинусы главного момента равны

, , .

Найдем проекции главного момента на оси координат:

, , .

На рис. показано расположение главного вектора и главного момента для центра приведения О.

Проекцию главного момента на направление главного вектора определим по формуле

.

Уравнение центральной оси (7.8) имеет вид

.

Отсюда следует, что центральная ось является линией пересечения плоскостей

, .

На рис.7.4 показано расположение этой оси .

Задача 7.2. По ребрам куба со стороной действуют двенадцать равных по модулю сил, как показано на рис. Привести систему к простейшему виду.

Решение. За центр приведения возьмем начало координат О и вычислим проекции главного вектора и главного момента на координатные оси. Имеем

, , ,

, , ,

где – общее значение модуля заданных сил.

По формулам (7.4) и (7.5) найдем значения статических инвариантов

, .

Так как второй инвариант положителен, то система сил приводится к правому динамическому винту (главный вектор и момент направлены в одну сторону). Модуль момента найдем по формуле (7.6):

.

Напишем уравнение центральной оси (7.8):

.

Отсюда видно, что центральная ось системы представляет линию пересечения плоскостей

,

.

Подставляя в эти уравнения сначала , а затем , найдем точки пересечения центральной оси с нижней и боковой гранями куба

, , ,

, , .

Таким образом, динамический винт, эквивалентный данной системе сил, состоит из силы , модуль которой равен , и пары сил с моментом , коллинеарным силе и численно равным . Центральная ось и составляющие динамического винта показаны на рис.