2.8. Модальные характеристики

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.6) или, другими словами, отражают свойства автономной системы типа (2.12)

(2.34)

(2.34)

Будем искать ее решение в виде экспоненты

(2.35)

где - скалярная экспонента, - вектор начальных условий.

Подставляя решение (2.35) в исходное уравнение (2.34), после преобразований получим

.

(2.36)

Система уравнений (2.36) будет иметь ненулевое решение относительно , если

.

(2.37)

Уравнение (2.37) называется характеристическим и имеет n-корней , которые называются собственными значениями матрицы A. При подстановке собственных значений в (2.37) получим

.

где - собственные векторы,

Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы.

Для (2.34) могут существовать лишь следующие экспоненциальные решения

(2.38)

которые называют модами. В случае, когда собственные значения вещественные и различные по значениям, полное решение системы (2.34) представляет собой линейную комбинацию мод:

.

(2.39)

Для получения характеристического уравнения системы достаточно общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции) приравнять нулю (2.29).

2.9. Частотные характеристики

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:

, n >= m.

(2.40)

Формально обобщенная частотная характеристика может быть получена из передаточной функции заменой p на

(2.41)

и представлена в виде

.

(2.42)

Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:

• вещественная частотная характеристика (ВЧХ),

• мнимая частотная характеристика (МЧХ),

• амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

• фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Частотная характеристика по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу , при изменении от 0 до прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Рис.2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,

Для определения числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка

,

тогда , где знак "+" относится к i=1,2,...,l (числителю передаточной фунции), знак "-" -к i=l+1,...,L (знаменателя передаточной функции).

Каждое из слагаемых определяется выражением

где .

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)

,

(2.43)

Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть , выраженную в декадах (дек).

Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики

В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:

Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики

Пример 2.8.

ЛФХ, реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы, передаточная функция которой имеет вид:

.

(2.44)

.

Рис. 2.9. Реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы

.

Рис. 2.10. ЛФХ системы