- •1. Введение Основные понятия и определения
- •2. Динамические характеристики линейных систем
- •2.1. Дифференциальные уравнения
- •2.2. Составление математической модели
- •2.3. Структурные схемы
- •2.4. Переходная функция (переходная характеристика)
- •2.6. Переходная матрица
- •2.7. Передаточная функция
- •2.8. Модальные характеристики
- •2.9. Частотные характеристики
- •3. Структурный метод
- •3.1. Введение
- •3.1. Введение
- •3.2. Пропорциональное звено (усилительное, безынерционное)
- •3.3. Дифференцирующее звено
- •3.4. Интегрирующее звено
- •3.5. Апериодическое звено
- •3.6. Форсирующее звено (пропорционально - дифференцирующее)
- •3.7. Звено второго порядка
- •3.8.1. Последовательное соединение звеньев
- •3.8.2. Параллельное соединение звеньев
- •3.8.3. Обратная связь
- •3.8.4. Правило переноса
- •3.9. Переход от передаточных функций к уравнениям состояния с использованием структурных схем
- •3.10. Область применимости структурного метода
- •4. Устойчивость линейных непрерывных систем
- •4.1. Основные понятия и определения
- •4.2. Условие устойчивости линейных систем
- •4.3. Критерии устойчивости
- •4.3.1. Критерий устойчивости Гурвица
- •4.3.2. Критерий устойчивости Михайлова
- •Доказательство
- •4.3.3. Критерий устойчивости Найквиста
- •4.3.4. Логарифмическая форма критерия Найквиста
- •4.4.1.Основные понятия и определения
- •4.4.2. Частотные оценки запаса
- •4.4.3. Корневые оценки
- •4.4.4. Метод d-разбиения
- •5. Анализ переходных процессов
- •5.2. Показатели качества переходного процесса
- •5.2.1. Ошибка регулирования
- •5.2.2. Быстродействие
- •5.2.3. Перерегулирование
- •5.2.4. Интегральные оценки
- •5.3. Анализ статических режимов
- •5.3.1. Статические системы
- •5.3.2. Астатические системы
- •5.3.3. Следящие (позиционные) системы
- •5.4.1. Введение
- •5.4.2. Взаимосвязь между частотной характеристикой и импульсной функцией
- •5.4.3. Взаимосвязь между частотной и переходной характеристиками
- •5.4.4. Оценки качества переходного процесса по вещественной частотной характеристике
- •5.4.5. О начальном участке переходной характеристики
- •5.5.1. Введение
- •5.5.2. Корневые оценки переходного процесса
- •5.6.1. Система 1-го порядка
- •5.6.2. Система 2-го порядка
- •5.6.3. Система 3-го порядка
- •6. Синтез линейных систем
- •6.1. Основные понятия
- •6.2. Постановка задачи синтеза одноканальных систем
- •6.3. Условия разрешимости задачи синтеза
- •6.3.1. Ресурсное ограничение
- •6.3.2. Устойчивость “обратного” объекта
- •6.3.3. Вырожденность передаточной функции
- •6.3.4. Управляемость
- •6.3.5. Наблюдаемость
- •6.4.1. Постановка задачи
- •6.4.2. Влияние частотной характеристики разомкнутой системы на свойства замкнутой
- •6.4.3. Основные соотношения и методика расчета
- •6.4.4. Построение лачх объекта
- •6.4.5. Построение желаемой лачх
- •6.4.6. Расчет корректирующего звена
- •6.4.7. Влияние возмущения и помехи измерения на свойства замкнутой системы
- •6.5.1. Основные понятия
- •6.5.2. Постановка задачи синтеза для одноканального объекта
- •6.5.3. Обеспечение заданной статики
- •6.5.4. Расчет корректора динамики
- •6.5.5. Схема реализации регулятора
4.2. Условие устойчивости линейных систем
Утверждение. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественная часть всех собственных значений матрицы A (корней характеристического уравнения) была отрицательной.
Re( ) < 0, |
(4.10) |
Для доказательства найдем корни характеристического уравнения системы (4.1) по выражению
A(p) = (pI-A) = |
(4.11) |
и используем модальное представление процессов при некратных корнях
|
(4.12) |
Как видим, полный процесс представляет собой сумму экспонент, а качественный характер переходных процессов полностью определяется значениями корней .
Рис.4.3. Процессы в системе с вещественными корнями |
Если все корни характеристического уравнения вещественные, то в выражении имеем линейную комбинацию экспонент. При выполнении условия (4.10) они носят затухающий характер, следовательно, и их сумма также будет с течением времени стремиться к нулю (рис.4.3, график 2). |
Рис.4.4. Процессы в системе с комплексными корнями и отрицательной вещественной частью |
В случае, когда корни характеристического уравнения комплексные, для каждой пары получим колебательную составляющую, которая мажорируется затухающей экспонентой при отрицательной вещественной части данной парыкорней. |
Следовательно, и процесс, определяемый соотношением (4.12), будет затухающим при выполнении условия (4.10).
Таким образом, мы доказали достаточность условия устойчивости (4.10).
Рис.4.5. Процессы в системе с положительной вещественной частью корней
Рис.4.6. Процессы в системе с чисто мнимыми корнями |
Необходимость этого условия докажем способом “от противного”. Предполагаем, что хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть. Тогда соответствующая экспонента будет с течением времени стремиться к бесконечности Следовательно, полный процесс, определяемый выражением (4.12), будет иметь расходящийся характер, а система (4.1) никогда не сможет стать устойчивой. |
Корни характеристического уравнения (4.11) можно представить на комплексной плоскости в виде точек (рис.4.7). При этом получим графическую интерпретацию условия (4.10): для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости плоскости корней.
Рис.4.7. Распределение корней устойчивой системы. |
Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости плоскости корней, то система будет неустойчива. Мнимая ось представляет собой границу устойчивости системы, то есть при наличии хотя бы одного корня на этой оси система находится на границе устойчивости (при условии. что все остальные корни имеют отрицательную вещественную часть). |
Необходимым (но не достаточным) условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. В этом нетрудно убедиться, если представить характеристический полином A(p) в виде произведения
Если корни вещественные, то есть и > 0, то характеристическое уравнение принимает вид
Раскрывая скобки, получим уравнение типа (4.11), где все коэффициенты будут положительными. Аналогичный результат получится и в случае, когда корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью.
Таким образом, при положительных коэффициентах характеристического уравнения (4.11) система может быть как устойчивой, так и неустойчивой - необходима дополнительная проверка. При наличии хотя бы одного отрицательного коэффициента она неустойчива, дополнительных исследований не требуется.
Пример 4.2.
Проверим устойчивость системы первого порядка, передаточная функция которой имеет вид:
Ее характеристическое уравнение, Tp + 1 = 0, имеет только один корень , который будет отрицательным при Т > 0.
Следовательно, положительность коэффициентов характеристического уравнения для системы 1-го порядка является необходимым и достаточным условием устойчивости.
Пример 4.3.
Получим условия устойчивости для системы 2-го порядка:
Запишем ее характеристическое уравнение,
T2p2+ 2dTp + 1 = 0,
и определим корни:
Они будут иметь отрицательную вещественную часть, когда знаки коэффициентов d и T совпадают.
Таким образом, положительность коэффициентов характеристического уравнения для системы 2-го порядка также является необходимым и достаточным условием устойчивости.