5.4.3. Взаимосвязь между частотной и переходной характеристиками

Поскольку переходная функция связана с импульсной функцией соотношением

,

то после подстановки в него (5.27) получим

.

Здесь произведение R ( )cos t - функция двух переменных, поэтому изменим порядок интегрирования и запишем

.

В результате получим следующее соотношение, связывающее переходную и вещественную частотную характеристики:

.

(5.31)

Типичный вид вещественной частотной характеристики, которая может быть получена экспериментально, представлен на рис.5.11.

Риc.5.11. Вещественная частотная характеристика системы

В теории управления было разработано несколько способов вычисления переходной характеристики по виду R( ), например, методы трапеций и треугольников.

В настоящее время необходимость в них отпала, так как с помощью средств вычислительной техники можно с достаточной степенью точности построить характеристики h(t).

Однако, выражение (5.31) используется для оценки вида переходного процесса без построения всей кривой h(t).

5.4.4. Оценки качества переходного процесса по вещественной частотной характеристике

Такие оценки оказываются особенно удобными в случае, когда для исследования системы применяются частотные методы, а переходный процесс вызван скачкообразным входным воздействием.

На основании анализа соотношения (5.31) были получены следующие оценки качества переходного процесса.

• Оценка 1. Начальное значение переходной характеристики соответствует конечному значению ВЧХ.

, как правило, h (0)=0.

• Оценка 2. Конечное значение переходной характеристики равно начальному значению ВЧХ.

, как правило, h( )=k .

Риc.5.12. Иллюстрация 1-ой и 2-ой оценок

• Оценка 3. Если для частотных характеристик двух систем справедливо выражение

или ,

то аналогичное соотношение будет связывать и переходные характеристики:

(t) = m (t) или (t) = (t) .

Рис.5.13. Иллюстрация 3-ей оценки

• Оценка 4. В случае, когда частотные характеристики двух систем связаны соотношением

,

для переходных характеристик справедливо равенство

.

Рис.5.14. Иллюстрация 4-ой оценки

• Оценка 5.  Если R( ) является положительной невозрастающей функцией, то перерегулирование в системе не будет превышать 18%.

• Оценка 6. Переходная характеристика имеет монотонный характер, если представляет собой отрицательную, убывающую по модулю непрерывную функцию.

   Оценка 7. В случае, когда R ( ) есть локально возрастающая функция, перерегулирование можно оценить по формуле:

  Рис.5.15. Иллюстрация 7-ой оценки

• 

• Оценка 8. Если на какой-то частоте R( ) терпит разрыв, то переходная характеристика будет иметь незатухающие колебания этой частоты.

Рис.5.16. Иллюстрация 8-ой оценки

• Оценка 9. Для монотонных процессов время переходного процесса можно приближенно оценить по формуле:

, .

Если частотная характеристика R ( ) всегда положительна, то в качестве выбирается частота, на которой .

< p> Рис.5.17. Иллюстрация 9-ой оценки

Рис.5.18. Определение частоты

• Таким образом, с помощью приведенных оценок можно приближенно (без вычислений) оценить качество переходного процесса по виду вещественной частотной характеристики.

• Подробно частотные оценки переходного процесса описаны в работах В.В. Солодовникова.