- •1. Введение Основные понятия и определения
- •2. Динамические характеристики линейных систем
- •2.1. Дифференциальные уравнения
- •2.2. Составление математической модели
- •2.3. Структурные схемы
- •2.4. Переходная функция (переходная характеристика)
- •2.6. Переходная матрица
- •2.7. Передаточная функция
- •2.8. Модальные характеристики
- •2.9. Частотные характеристики
- •3. Структурный метод
- •3.1. Введение
- •3.1. Введение
- •3.2. Пропорциональное звено (усилительное, безынерционное)
- •3.3. Дифференцирующее звено
- •3.4. Интегрирующее звено
- •3.5. Апериодическое звено
- •3.6. Форсирующее звено (пропорционально - дифференцирующее)
- •3.7. Звено второго порядка
- •3.8.1. Последовательное соединение звеньев
- •3.8.2. Параллельное соединение звеньев
- •3.8.3. Обратная связь
- •3.8.4. Правило переноса
- •3.9. Переход от передаточных функций к уравнениям состояния с использованием структурных схем
- •3.10. Область применимости структурного метода
- •4. Устойчивость линейных непрерывных систем
- •4.1. Основные понятия и определения
- •4.2. Условие устойчивости линейных систем
- •4.3. Критерии устойчивости
- •4.3.1. Критерий устойчивости Гурвица
- •4.3.2. Критерий устойчивости Михайлова
- •Доказательство
- •4.3.3. Критерий устойчивости Найквиста
- •4.3.4. Логарифмическая форма критерия Найквиста
- •4.4.1.Основные понятия и определения
- •4.4.2. Частотные оценки запаса
- •4.4.3. Корневые оценки
- •4.4.4. Метод d-разбиения
- •5. Анализ переходных процессов
- •5.2. Показатели качества переходного процесса
- •5.2.1. Ошибка регулирования
- •5.2.2. Быстродействие
- •5.2.3. Перерегулирование
- •5.2.4. Интегральные оценки
- •5.3. Анализ статических режимов
- •5.3.1. Статические системы
- •5.3.2. Астатические системы
- •5.3.3. Следящие (позиционные) системы
- •5.4.1. Введение
- •5.4.2. Взаимосвязь между частотной характеристикой и импульсной функцией
- •5.4.3. Взаимосвязь между частотной и переходной характеристиками
- •5.4.4. Оценки качества переходного процесса по вещественной частотной характеристике
- •5.4.5. О начальном участке переходной характеристики
- •5.5.1. Введение
- •5.5.2. Корневые оценки переходного процесса
- •5.6.1. Система 1-го порядка
- •5.6.2. Система 2-го порядка
- •5.6.3. Система 3-го порядка
- •6. Синтез линейных систем
- •6.1. Основные понятия
- •6.2. Постановка задачи синтеза одноканальных систем
- •6.3. Условия разрешимости задачи синтеза
- •6.3.1. Ресурсное ограничение
- •6.3.2. Устойчивость “обратного” объекта
- •6.3.3. Вырожденность передаточной функции
- •6.3.4. Управляемость
- •6.3.5. Наблюдаемость
- •6.4.1. Постановка задачи
- •6.4.2. Влияние частотной характеристики разомкнутой системы на свойства замкнутой
- •6.4.3. Основные соотношения и методика расчета
- •6.4.4. Построение лачх объекта
- •6.4.5. Построение желаемой лачх
- •6.4.6. Расчет корректирующего звена
- •6.4.7. Влияние возмущения и помехи измерения на свойства замкнутой системы
- •6.5.1. Основные понятия
- •6.5.2. Постановка задачи синтеза для одноканального объекта
- •6.5.3. Обеспечение заданной статики
- •6.5.4. Расчет корректора динамики
- •6.5.5. Схема реализации регулятора
5.4.5. О начальном участке переходной характеристики
Используя частотный метод, можно оценить не только начальное значение переходного процесса, но и его вид на начальном участке.
Рассмотрим систему с передаточной функцией общего вида:
.
Заменив p на j , перейдем к ее частотной характеристике
. |
(5.32) |
Известно, что начальное значение переходного процесса определяет конец частотной характеристики, поэтому в (5.32) устремим . При этом доминирующими слагаемыми в числителе и знаменателе будут в старшей степени, и (5.32) вырождается в
. |
(5.33) |
Частотную характеристику (5.33) имеет интегратор (n-m) порядка, следовательно, и начальный участок переходного процесса соответствует интегратору (n-m) порядка.
В случае, когда передаточная функция системы n-го порядка содержит в числителе просто коэффициент, начальный участок переходного процесса соответствует степенной функции n-го порядка.
5.5.1. Введение
Данный метод анализа, в отличие от частотного, позволяет исследовать реакцию системы на начальные условия (первое слагаемое решения (5.2) и может применяться как для одноканальных, так и многоканальных систем.
Для одноканальных систем вида
|
, |
(5.34) |
общая реакция на входной сигнал при ненулевых начальных условиях описывается соотношением
,
которое является частным случаем (5.2).
Нас интересует первая составляющая правой части уравнения, представляющая собой линейную комбинацию мод (2.39):
где - корни характеристического уравнения.
Каждая мода эквивалентна решению системы первого или второго (если корни комплексно - сопряженные) порядка, причем скорость затухания соответствующей экспоненты зависит от численного значения . Поэтому на основе корней характеристического уравнения можно оценить граничные составляющие переходного процесса: самую быструю, самую колебательную моду и т.п.
5.5.2. Корневые оценки переходного процесса
Будем рассматривать характеристическое уравнение системы
с корнями , которые изобразим на комплексной плоскости.
Риc.5.19. Корневой портрет системы |
Наиболее удаленные от мнимой оси корни (имеющие max ) определяют моды, затухающие быстрее всего. Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к мнимой оси (с min ), дают наиболее медленно затухающие моды, которые и определяют длительность переходного процесса. |
Поэтому корневой оценкой быстродействия служит расстояние до мнимой оси ближайшего к ней корня, то есть
, . |
(5.35) |
В случае, когда статическая ошибка 5%, можно приближенно оценивать время переходного процесса (время попадания в 5% зону) по соотношению:
. |
(5.36) |
Колебания в системе будет наблюдаться только в том случае, когда характеристическое уравнение содержит комплексно - сопряженные корни
. Склонность системы к колебаниям характеризует величина
, |
(5.37) |
которая называется колебательностью. Чем больше , тем более колебательными будут переходные процессы системы и наоборот. При колебания отсутствуют, процессы будут носить апериодический характер. Обычно допустимая колебательность системы .