4.3.4. Логарифмическая форма критерия Найквиста

Для проверки устойчивости замкнутой системы можно использовать логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, которые строятся почти без вычислений.

Формулировка критерия Найквиста. Для замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на частотах, где ЛАЧХ положительна (то есть L( ) > 0), фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не пересекала прямую параллельную оси абсцисс и проходящую через значение (- ) или пересекала ее четное число раз.

Риc.4.18. Логарифмические частотные характеристики, иллюстрирующие критерий Найквиста

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если на той же частоте, где , фазовая частотная характеристика разомкнутой системы принимает значение ( ).

4.4.1.Основные понятия и определения

Поскольку при составлении математической модели делается ряд допущений, то параметры реальной системы несколько отличаются от расчетных (номинальных). Кроме того, с течением времени они могут изменяться в некотором диапазоне, но при этом свойство устойчивости должно сохраняться. Поэтому для нормальной работы система должна обладать определенным запасом устойчивости.

Рассмотрим линейную стационарную систему общего вида

и соответствующее ей характеристическое уравнение

det(pI - A) = 0 ,

которое имеет n корней

Рис.4.19. Область устойчивости системы

Определение: областью устойчивости по параметрам будем называть множество матриц A, для которых выполняется общее условие устойчивости, Re (A) < 0 . На практике обычно речь идет об изменении одного - двух параметров системы.

Определение: критическими (граничными) будем называть такие значения матриц A, при которых система находится на границе устойчивости, Re (A) = 0.

<P< p>

Определение: запасом устойчивости называется диапазон значений параметра от номинального до граничного.

4.4.2. Частотные оценки запаса

Частотные запасы устойчивости характеризуют, в соответствии с критерием Найквиста, удаление амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от критической точки с координатами {-1, j0}.

Риc.4.20. Определение запасов устойчивости по АФХ

Запас устойчивости по амплитуде (h) показывает, насколько можно увеличить амплитуду без потери устойчивости системы. Запас устойчивости по фазе ( ) показывает, насколько можно изменить фазу системы без потери ею устойчивости,

.

(4.34)

Аналогичные запасы устойчивости можно определить и по логарифмическим характеристикам системы.

Риc.4.21. Определение запасов устойчивости по логарифмическим характеристикам

Здесь запас устойчивости по модулю обозначают как L и измеряют в децибеллах [дБ]. Он определяется на частоте, где фазовая частотная характеристика достигает значения - . Запас устойчивости по фазе обозначают как , он определяется на частоте , где ,

(4.35)

Экспериментально установлено, что имея следующий запас устойчивости:

,

(4.36)

система будет хорошо демпфирована.