4.3.3. Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий был получен Н. Найквистом в 1932 году для проверки усилителей с отрицательной обратной связью, затем обобщен на системы автоматического управления.

Рис.4.14. АФХ разомкнутой системы

Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с обратной связью (замкнутой системы) по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной функции амплитудно - фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.

Будем полагать, что известна передаточная функция разомкнутой системы

(4.25)

Здесь - ее характеристический полином.

Структурная схема замкнутой системы имеет вид:

Рис.4.15. Структурная схема замкнутой системы

Передаточная функция замкнутой системы следующая:

,

(4.26)

где - характеристический полином замкнутой системы.

Для получения критерия устойчивости вводится вспомогательная функция:

(4.27)

Как видим, числитель вспомогательной передаточной функции представляет собой характеристический полином замкнутой системы, а знаменатель - характеристический полином разомкнутой системы. Так как то в выражении для A(p) порядок суммы полиномов равен . Следовательно, во вспомогательной передаточной функции полиномы числителя и знаменателя имеют одинаковый порядок ( n).

В выражении (4.27) заменим p на и получим:

(4.28)

Рассмотрим результирующий угол поворота вектора при изменении от 0 до , используя те же соотношения, что и при доказательстве критерия Михайлова.

Если замкнутая система устойчивая, то общее приращение фазы числителя (4.28) будет равно

(4.29)

При устойчивой разомкнутой системе фаза знаменателя

(4.30)

Результирующий угол поворота вектора равен разности (4.29) и (4.30)

(4.31)

Таким образом, для устойчивости замкнутой системы при устойчивой разомкнутой должно выполняться соотношение (4.31). Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: вспомогательная частотная характеристика не должна охватывать начало координат. Так как отличается от на единицу, то можно строить амплитудно - фазовую характеристику разомкнутой системы, что значительно проще.

Формулировка критерия Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно чтобы амплитудно - фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении от0 до не охватывала точку с координатами {-1, j0}.

1 - устойчивая система

2 - неустойчивая система

Рис.4.16. Частотные характеристики, иллюстрирующие критерий Найквиста

Разомкнутая система может быть неустойчива, но это не означает, что неустойчивой будет и замкнутая. В этом случае меняется формулировка критерия Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно - фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы при изменении от 0 до охватывала точку с координатами {-1, j0} в положительном направлении r/2 раз, где r число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Критерий Найквиста можно также применять, если разомкнутая система имеет в своем составе интегратор, то есть ее передаточная функция следующая:

(4.32)

Рис.4.17. АФХ разомкнутой системы с интегратором

Полученная в результате замены p в выражении (4.32) амплитудно - фазовая характеристика будет иметь неопределенность в точке = 0. Поэтому при ее построении делают аппроксимацию: характеристику дополняют полуокружностью бесконечно большого радиуса так, чтобы она начиналась на положительной вещественной полуоси.

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если при некоторой частоте АФХ разомкнутой системы пересекает точку с координатами {-1, j0}. Аналитически условие границы устойчивости записывается в виде

(4.33)

Пример 4.7.

Передаточная функция разомкнутой системы пятого порядка имеет вид

A.

B.

По виду АФХ разомкнутых систем можно заключить, что обе замкнутые системы неустойчивы,

АФХ системы A, АФХ системы B  .

Для устойчивости замкнутой системы при неустойчивой разомкнутой (случай А) АФХ разомкнутой системы должна охватывать критическую точку два раза, т.к. разомкнутая система имеет четыре положительных полюса.