Розділ з Статистичні методи визначення трендів

3.1. Типи статистичних методів

Статистичні методи визначення основної тенденції ча­сових рядів умовно поділяють на два типи. Суть методів першого типу полягає в тому, що окремі точки тренду визначають на основі груп сусідніх (попередніх і наступ­них) точок. Такі методи відомі в літературі під загальною назвою "механічне згладжування". Істотною перевагою да­них методів є простота й наочність. Разом з тим, наприк­лад, метод ковзної середньої має низку недоліків: якщо спо­стережень небагато, основна тенденція часового ряду часто спотворюється; вибір величини інтервалу згладжування до­сить часто важко обґрунтувати, від цього залежить вибір форми кривої, яка описує тренд; при обчисленні ковзних середніх втрачаються початкові й кінцеві рівні ряду і, на­решті, тенденція часового ряду, знайдена на основі методу ковзної середньої, не має кількісного вираження, тобто швидкість зміни ряду є невідомою.

В основу методів другого типу знаходження трендів покладена гіпотеза, згідно з якою досліджуваний динаміч­ний ряд має певну закономірність, яку можна описати ана­літичною функцією. Методи такого типу називають аналі­тичним вирівнюванням. Зауважимо, що підставою для ви­бору типу функції, що описує основну тенденцію, є всебічний аналіз суті соціально-економічного явища. В аналітичному вимірюванні динамічних рядів час t розглядається як неза­лежна змінна, а рівні ряду - як функції даної незалежної змінної. При цьому в економічних дослідженнях вважаєть­ся недоцільним використовувати для опису основної тен­денції динаміки функції з великим числом параметрів, ос­кільки отримане в такий спосіб рівняння тренду (особливо для невеликих часових рядів) відображатиме випадкові ко­ливання, а не основну тенденцію розвитку.

Розглянемо найпоширеніші статистичні методи.

3.2. Метод ковзної середньої

В основу даного методу покладена гіпотеза, що під час обчислення середніх значень випадкові відхилення взає­мно знищуються. При згладжуванні ковзною середньою фак­тичні значення рівнів ряду динаміки замінюються на се­редні значення, що характеризують середню точку періоду ковзання. На практиці користуються двома модифікаціями методу ковзної середньої - простим і зваженим згладжуван­нями.

Просте згладжування ґрунтується на тому, що з про­стих середніх арифметичних рівнів досліджуваного ряду дістають рівні нового ряду. Одержані у такий спосіб зна­чення належать до середини досліджуваного проміжку часу. Далі період зсувається на одне спостереження праворуч і обчислення середніх значень повторюється, причому пері­оди для визначення середніх беруться весь час однакові. При згладжуванні часового ряду методом ковзної середньої в обчисленнях беруть участь усі рівні вихідного ряду. Чим ширший інтервал ковзання, тим більш плавним стає тренд. Згладжений ряд коротший від заданого ряду на (к- 1) спо­стережень (к- значення інтервалу згладжування). Якщо зна­ченнях к великі, коливальність перетвореного ряду значно зменшується, проте одночасно зменшується й кількість спо­стережень, що небажано.

Вибір інтервалу згладжування залежить від мети дос­ліджень. Наприклад, при згладжуванні часових рядів окре­мих економічних показників найчастіше користуються п'я­тирічним періодом, хоча це не виключає можливості ви­користовувати й інші періоди часу. Зокрема, досліджуючи часові ряди врожайності сільськогосподарських культур, не­обхідно враховувати тип динаміки (переважаючою є дворіч­на, рідше - трирічна періодичності) й періоди розвитку сільського господарства.

Якщо число членів інтервалу згладжування непарне, ковзна середня виражається формулою

(3.1)

якщо воно парне, ковзна середня

(3.2)

де - значення (і+m)-ї ковзної середньої; у_і - і-й рівень часового ряду; і = 1, 2, ..., n – 2m, m - задане ціле додатне число, на основі якого визначається інтервал згладжування:

я - число рівнів ряду динаміки.

Зважене, згладжування полягає у визначенні зва­жених середніх тоді, коли на інтервалі існує нелінійна тен­денція. У цьому випадку добирають многочлен р-го порядку

(3.3)

для першої групи з (2m + 1) членів ряду і використовують його для визначення тренду в (m + 1)-й середній точці гру­пи, далі - многочлен того самого порядку для другої, тре­тьої і наступних груп уздовж усього ряду до останнього з (2m + 1)-го рівня й використовують їх для знаходження значень тренду в (m + 2), (m + 3) і наступних середніх точках групи. У практичних розрахунках немає потреби що­разу добирати відповідні многочлени, оскільки дана проце­дура еквівалентна лінійній комбінації спостережень з кое­фіцієнтами, що визначаються один раз. Параметри много­члена (3.3) знаходять методом найменших квадратів.

Розглянемо цей метод на прикладі знаходження мно­гочлена другого порядку для інтервалів з п'яти точок.

Нехай часовий ряд

досліджується в моменти часу t = -2, -1, 0, 1, 2. Шуканий поліном, має вигляд

(3.4)

Константи і знаходимо методом наймен­ших квадратів, тобто шляхом мінімізації виразу

(3.5)

Диференціюючи вираз (3.5) за , дістаємо систему трьох рівнянь:

(3.6)

Оскільки суми непарних степенів t від -2 до +2 дорів­нюють нулю, система (3.6) значно спрощується і набирає вигляду

(3.7)

Нас цікавить значення ряду в момент часу t = 0, а., саме, значення коефіцієнта Sy Використовуючи перше й третє рівняння системи (3.7), отримуємо:

(3.8)

Таким чином, значення тренду в довільній точці до­рівнює середньозваженому значенню п'яти точок з даною точкою як центральною і вагами

(3.9)

або скорочено

Будуючи многочлен третього порядку для груп й семи то­чок, значення тренду в довільній точці знаходять за формулою

(3.10)

Отримані ваги мають такі властивості:

1) сума ваг дорівнює одиниці;

2) ваги є симетричними відносно середини інтервалу згладжування;

3) значення тренду не залежить від напрямку відліку часу;

4) поліноми парного порядку 2R обчислюються за та­кими самими формулами для , що й многочлени порядку 2R +1.

У [15] наведені ваги для обчислення зважених ковз­них середніх, коли рівні часового ряду описуються много­членами до п'ятого порядку включно.

В прогнозуванні важливе значення має знаходження значень рівнів часового ряду методом ковзної середньої для останніх членів ряду. У випадку підбору квадратного много­члена для п'яти точок, розв'язуючи систему нормальних рівнянь (3.7), отримуємо такі вирази для коефіцієнтів а^ і а^:

(3.11)

Визначаючи знайдені коефіцієнти у вигляді ковзних середніх п'яти послідовних членів ряду, дістаємо

(3.12)

Якщо t = 1,2, отримуємо такі значення для двох ос­танніх членів ряду:

(3.13)

У випадку підбору многочлена третього порядку для семи точок останні три члени ряду знаходять за формулами

Слід узяти до уваги, що чим ближче до кінця ряду, тим менша надійність значень тренду, знайдених методом ковзної середньої.

Наведемо процедуру знаходження ковзних середніх на прикладі виробництва цукру-піску в Україні за 1970 -1990 pp. (табл. 3.1).

Просте зважування здійснюємо за формулою (3.1):

тощо.

Зважені ковзні середні для інтервалів з п'яти точок знаходимо за формулою (3.9):

тощо.

Часовий ряд ковзних середніх за останні два роки об­числюємо за формулами:

Результати обчислень наведені в табл.3.1

Таблиця 3.1

Розрахунок п'ятирічної ковзної середньої виробництва цукру-піску в Україні

		Ковзна середня
Роки	Виробництво	за п'ять років, млн. т
	цукру-піску , млн. т	Проста	Зважена
1	2	3	4
1970	5,97	-	-
1971	5,48	-	-
1972	5,45	5,71	5,68
1973	6,22	5,72	5,76
1974	5,43	5,63	5,94
1975	6,04	5,90	5,41