Виробництво цукру-піску в Україні

Рік	Виробництво цукру, млн.т	Рік	Виробництво цукру, млн.т
1970	5,94	1981	5,18
1971	5,48	1982	6,61
1972	5,45	1983	6,94
1973	6,22	1984	6,87
1974	5,43	1985	6,25
1975	6,04	1986	6,66
1976	5,03	1987	7,58
1977	6,78	1988	6,13
1978	6,90	1989	7,01
1979	5,94	1990	6,79
1980	5,30

*Тут і далі в таблицях наводяться умовні дані.

Поділимо даний ряд на дві частини: п₁ = 10 і n₂ = 11. Обчислимо для кожної = 5,924; = 6,484; = 0,3254; = 0,4780. Оцінимо дисперсію для першої й другої части­ни ряду на основі F-критерію:

при і

Оскільки F_ф < F_т (1,469<3,04), то гіпотеза про рівність дисперсій приймається. Обчислимо далі величини S і t відповідно за формулами (2.19) та (2.18):

при

Оскільки t_ф < t_т (0,328 < 2,086), то гіпотеза про відсут­ність основної тенденції середніх значень приймається. Не­обхідно визнати, що даний метод дає досить високі резуль­тати лише тоді, коли ряд динаміки має монотонну тенден­цію. Коли часовий ряд змінює загальний напрямок розвит­ку, точка згину може бути близькою до середини ряду, в результаті чого середні двох частин ряду майже рівні й пе­ревірка гіпотези може не показати наявності основної тен­денції динаміки.

Б) Перевірка методом Форстера - Стюарта

Основою даного методу є такі дві прості характеристи­ки:

(2.23)

де

Підсумовування у формулах (2.22) виконується за всіма членама ряду. Значення u_t і 1_t знаходять, послідовно зістав­ляючи рівні часового ряду. Якщо рівень ряду за значенням перевищує кожний з попередніх рівнів, и_t= 1, у противно­му разі и_t = 0, тобто

Показники S і d є асимптотично нормальними і ма­ють незалежні розподіли, але на них впливає порядок роз­міщення рівнів ряду в часі. Показник S використовується для виявлення тенденції зміни дисперсії, а d- для виявлен­ня тенденції середніх значень. Після того, як для досліджу­ваного ряду знайдеш фактичні значення d і S, перевіряєть­ся гіпотеза про те, чи можна вважати випадковими різниці d - 0 і S - . Дані гіпотези можна перевірити на основі і-критерію Стьюдента, тобто

(2.24)

(2.25)

де μ - математичне сподівання величини S, визначене для випадково розташованих у часі рівнів ряду; μ, σ₁, σ₂ є середньоквадратична похибка відповідно величин S і d . Величини μ, σ₁, σ₂ є табульованими (табл.2.2)

Таблиця 2.2

Значення середньої μ і стандартних похибок σ₁ та σ₂ для п від 10 до 50

п	μ	σ1	σ2
10	3,858	1,288	1,964
15	4,636	1,521	2,158
20	5,195	1,677	2,279
25	5,632	1,791	2,373
ЗО	5,990	1,882	2,447
35	6,294	1,956	2,509
40	6,557	2,019	2,561
45	6.790	2,072	2,606
50	6,998	2,121	2,645

На підставі даних про виробництво цукру-піску (див. табл 2.1.) знайдемо відповідні значення u_t і 1_t (табл. 2.3).

Таблиця 2.3

Визначення u_t , і, 1_t для ряду динаміки виробництва цукру-піску в Україні

Роки	ui	і	1t	Роки	ui	і	1t
1970	5,97	0	0	1980	5,30	0	0
1971	5,48	0	1	1981	5,18	0	0
1972	5,45	0	1	1982	6,61	0	0
1973	6,22	1	0	1983	6,94	1	0
1974	5,43	0	1	1984	6,87	0	0
1975	6,04	0	0	1985	6,25	0	0
1976	5,03	0	1	1986	6,66	0	0
1977	6,78	1	0	1987	7,58	1	0
1978	6,90	1	0	1988	6,13	0	0
1979	5,94	0	0	1989	7,01	0	0
				1990	6,79	0	0

За даними табл. 2.3 обчислюємо: S = 5 + 4 = 9; d =5- 4 =1. Значення μ, σ₁, σ₂ знаходимо за табл.2.2 (беремо найближчі табличні значення параметрів при п = 20 і п = 25):

при

Звідки

для

для

Отже, гіпотеза про відсутність тенденції для середніх значень приймається (0,439 < 2,086), а гіпотеза про відсут­ність основної тенденції дисперсії відхиляється (2,269 > 2,086).

Нарешті, розглянемо ще один критерій виявлення тренду - кумулятивний, який досить ефективно використо­вується статистиками. Його знаходять як відношення суми відхилень рівнів ряду у_t від середнього рівня і самих відхи­лень, тобто

(2.26)

де S_y² - загальна сума квадратів відхилень,

z_i - сума відхилень, що відображають закономірність їх зміни,

Відхилення одного знака утворюють серії, які при підсу­мовуванні не знищуються. Якщо величина ряду динаміки до­сить значна, можна використовувати нормовані відхилення

(2.27)

Далі фактичні значення Т і порівнюються з критич­ними при заданому рівні значущості α. Якщо фактичне зна­чення більше за критичне, гіпотезу про відсутність тренду відхиляють, в противному разі наявність тренду вважається істотною. Перевірку критерію істотності існування тренду розглянемо на прикладі часового ряду, який характеризує динаміку виробництва цукру-піску в Україні (табл. 2 4)

Таблиця 2.4