2.5. Вибір моделі основної тенденції

Одним з найважливіших питань, які виникають при вирівнюванні часових, рядів, є вибір форми кривої, яка най­краще характеризувала б основну тенденцію динаміки ре­ального суспільно-економічного процесу. Допущена при цьо­му помилка за своїм наслідком (особливо для прогнозування) є більш серйозною, ніж помилка, пов'язана із статис­тичною оцінкою параметрів.

Для вирівнювання часових рядів найчастіше викорис­товуються многочлени (поліноми) різних степенів, експо­ненти й логістичні функції.

Многочлени мають такий вигляд:

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

де а₀, а₁, а₂ , ... а_p - параметри многочленів; t - незалежна змінна (час); р - натуральне число (степінь многочлена).

Параметри многочленів: прямої (2.28), параболи (2.29), полінома третього порядку (2.30) мають конкретну інтер­претацію, що залежить від змісту часового ряду.

Зокрема, параметр а₁ характеризує швидкість зростання, параметр a₂, - прискорення зростання, параметр а₃ - зміну приско­рення зростання, параметр а₃ - значення рівня ряду при t = 0.

Рівняння першого порядку (2.28) відображає постійний приріст рівнів часового ряду і характеризує рівномірну зміну процесу в часі.

Парабола другого порядку (2.29) описує рух з рівномір­ною зміною приростів (у додатному чи від'ємному напрям­ках). Характерним для таких економічних процесів є рівно­мірно-прискорене зростання або рівномірно-прискорений спад їх розвитку.

У поліномі третього порядку (2.30) приріст може зміню­вати свій знак один або два рази. Функція

(2.32)

описує процес зі сталими темпами зростання й приросту. Якщо b > 1, то крива (2.32) зростає із збільшенням t і якщо b < 1 - спадає. Прологарифмувавши ліву і праву частини виразу (2.30), отримуємо лінійну залежність функції від часу

Логарифмічна парабола

або

(2.33)

описує процес з лінійною зміною в часі темпів приросту.

Процеси, які характеризуються насиченням, опису­ються модифікованою експонентою

(2.34)

Найчастіше дана крива використовується економіста­ми при значеннях k < 0 і b > 1, тобто коли зростання відбувається уповільнено, а самі рівні ряду прямують до певної фіксованої межі.

У страхових і демографічних розрахунках для відобра­ження основної тенденції використовують функцію Гомперца

(2.35)

або

(2.36)

Для дослідників ця крива становить інтерес при 1оg а < 0 і b < 1, тобто коли на першому етапі приріст є невеликим і повільно збільшується із зростанням t. На дру­гому етапі приріст швидко збільшується і після досягнення точки перетину починає повільно прямувати до асимпто­тичної прямої.

Для опису економічних процесів використовуються й інші види функцій, зокрема логістичні криві

(2.37)

. (2.38)

Функцію (2.37) називають кривою Перла - Ріда.

Розглянемо тепер способи вибору форми кривої, яка найбільш адекватно описувала б динаміку досліджуваного соціально-економічного процесу.

Перший cпосіб (найпростіший) - візуальний, тобто коли форма тренду вибирається на основі графічного зоб­раження часового ряду. До його недоліків слід віднести те, що різні дослідники для одного й того самого графіка виби­рають різні функції, при цьому на результат вибору значно впливає масштаб графічного зображення часового ряду.

Другий спосіб полягає у використанні методу по­слідовних різниць, згідно з яким обчислюються перші, другі та інші різниці рівнів часового ряду

Обчислення тривають доти, поки різниці не стануть майже однаковими. Порядок наближеної рівності таких різ­ниць беруть за степінь многочлена для вирівнювання основ­ної тенденції динаміки. Зокрема, якщо перші різниці є май­же рівними, то тренд описують прямою лінією; якщо одна­кові значення мають другі різниці, динаміку вирівнюють па­раболою другого порядку тощо. Слід зазначити, що даний спосіб вибору форми тренду не є універсальним, оскільки його використання обмежується лише вирівнюванням основ­ної тенденції динаміки многочленами різних порядків.

Третій спосіб полягає в тому, що за критерій вибору форми тренду беруть суму квадратів відхилень значень рівнів ряду від розрахункових, отриманих на основі вирівнювання часового ряду. Із множини функцій вибирають таку, якій відповідає мінімальне значення критерію. Недоліком дано­го способу є те, що він не має теоретичного обґрунтування.

Четвертий спосіб (метод характеристик приростів) полягає в тому, що вибір кривої включає попередню стати­стичну обробку часового ряду і сам вибір типу функції.

Попередня обробка складається з таких етапів:

• згладжування часового ряду методом ковзної серед­ньої;

• обчислення середніх приростів для згладженого ряду;

• обчислення похідних характеристик приростів.

Згладжування часового ряду ковзної середньої дає мож­ливість "грубо" згладити тенденцію зміни ряду - тренд.

Далі визначають середні прирости та їх похідні харак­теристики:

Вигляд функції для вирівнювання часового ряду виз­начають за табл. 2.5 Таблиця 2.5

Характер зміни показників середніх приростів для функцій різного вигляду

Досить ефективна методика вибору форми тренду за­пропонована в [27].

На першому етапі часовий ряд згладжується методом ковзної середньої. Для згладженого ряду визначають харак­теристики, які відповідають параметрам основних ліній:

• ланцюговий абсолютний приріст - для прямої;

• ланцюговий темп зростання - для експоненти;

• прискорення приросту - для параболи другого порядку.

Потім здобутий ряд значень приростів поділяють на кілька частин (мінімально - на дві, краще - на 3 або 4); згідно з t-критерієм Стьюдента перевіряють істотність від­мінностей між середніми приростами окремих частин ряду. Якщо ці відмінності не суттєві при заданому рівні значу­щості а, середньорічний абсолютний приріст вважають ста­лим і тренд на досліджуваному проміжку вирівнюють пря­мою лінією. Якщо відмінності абсолютних приростів є сут­тєвими між усіма частинами ряду, проте незначно відрізня­ються середні темпи зростання, то тренд описують експо­ненціальною функцією. Якщо відмінності між значеннями прискорень не істотні, то основна тенденція динаміки опи­сується параболою другого порядку. Існують також інші способи вибору форми основної тенденції динаміки. Охарактеризуємо деякі з них:

• якщо розподіл різниць першого порядку близький до нормального, динаміку вирівнюють логістичними функціями (2.37) або (2.38);

• якщо середні рівні на напівлогарифмічному графіку близькі до прямої лінії, перевагу віддають простій експоненті (2.32); якщо ці рівні утворюють криву, що є близькою до модифікованої експоненти (2.34), тренд краще описувати функцією Гомперца (2.35) або (2.36);

• якщо перші різниці логарифмів рівнів часових рядів є сталими, то тренд вирівнюють експонентою (2.32);

• якщо вони змінюються зі сталим темпом, то дина­міку вирівнюють з допомогою функції Гомперца (2.35) або (2.36);

• якщо перші різниці обернених значень середніх рівнів змінюються на один і той самий відсоток, то перевагу віддають логістичним функціям (2.37) і (2.38).