Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ekonom_prognozuvannya2.doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
30.04.2019
Размер:
994.3 Кб
Скачать

3.4. Метод скінченних різниць

Нехай заданий часовий ряд yt (t = 1, n) описується многочленом р-го порядку:

Для даного полінома можна обчислити скінченні різ­ниці довільного степеня:

тощо.

Загальна формула для різниці р-го порядку має вигляд

Відомо, що (р + 1)-ша похідна многочлена р-го поряд­ку дорівнює нулю в довільній точці. Звідси (р + 1)-ша різни­ця полінома р-го порядку дорівнює нулю, а скінченні різниці р-го порядку для даного многочлена набувають сталих зна­чень. Таким чином, взявши р-ту різницю, ми тим самим вик­лючаємо тренд, виражений поліномом р-то порядку.

Розглянемо частинні випадки (3.32). Нехай скінченні різниці першого порядку майже рівні (незначно відрізняються між. собою), а середнє арифметичне скінченних різниць дру­гого порядку досить мале і ним можна знехтувати. Тоді у формулі, що виражає довільний рівень часового ряду через початковий рівень і скінченні різниці ,

візьмемо перші два члени: .

Згідно з формулою суми членів арифметичної про­гресії

тому далі здобуваємо

Потім, використовуючи співвідношення

дістаємо

Звідси

де - середній рівень ряду динаміки; - середнє арифме­тичне скінченних різниць першого порядку; t - незалежна змінна (час).

Нехай майже рівними є скінченні різниці другого по­рядку. Тоді після аналогічних перетворень матимемо

де - середній рівень ряду динаміки; n - число рівнів ряду динаміки; - середнє арифметичне скінченних різниць другого порядку.

Метод скінченних різниць для знаходження параметрів тенденції порівняно з методом найменших квадратів не та­кий трудомісткий і потребує значно менше обчислень. Ко­ефіцієнти тренду, визначені з допомогою методу скінчен­них різниць, мають чіткішу економічну інтерпретацію соці­ально-економічного явища (щодо встановлення швидкості й інтенсивності його розвитку).

Приклад 1. Знайти закономірність зміни виробництва цукру-піску в Україні методом скінченних різниць (табл.3.9).

Таблиця 3.9

Розрахунок тренду ряду динаміки методом скінченних різниць

Роки

Виробництво

Умовне позначення

Скінченні різниці

цукру-піску уi, млн.т

часу ti.

1970

5,97

-10

-

-

1971

5,48

-9

-0,49

-

1972

5,45

-8

-0,03

0,46

1973

6,22

-7

0,77

0,80

1974

5,43

-6

-0,79

-1,56

1975

6,04

-5

0,61

1,40

1976

5,03

-4

-1,01

-1,62

1977

6,78

-3

1,75

2,76

1978

6,90

-2

0,12

-1,63

1979

5,94

-1

-0,96

-1,08

1980

5,30

0

-0,64

0,32

1981

5,18

1

-0,12

0,52

1982

6,61

2

1,43

1,55

1983

6,94

3

0,33

-1,10

1984

6,87

4

-0,07

-0,40

1985

6,25

5

-0,62

-0,52

1986

6,66

6

0,41

1,03

1987

7,58

7

0,92

0,51

1988

6,13

8

-1,45

-2,37

1989

7,01

9

0,88

2,33

1990

6,79

10

-0,22

-1,10

Середнє

арифме­

тичне

6,21

0

0,04

0,01

Дані табл.3.9 показують, що скінченні різниці першо­го порядку є практично рівними між собою, а середнє ариф­метичне скінченних різниць другого порядку досить мале і ним можна знехтувати. Отже, тенденцію даного ряду динаміки описуємо прямою лінією. Враховуючи, що і = 0,04, дістаємо = 6,21 + 0,04t.

Приклад 2. За методом скінченних різниць визначити тенденцію виробництва сталевих труб в Україні (табл. 3.10). Таблиця 3.10

Розрахунок тренду динаміки методом скінченних різниць

Виробництво

Умовне

Скінченні різниці

Роки

сталевих труб

позначення

, млн.т

часу t.

1970

452

-10

-

-

-

1971

484

-9

32

-

-

1972

505

-8

21

-11

-

1973

513

-7

8

-13

-2

1974

532

-6

19

11

24

1975

554

-5

22

3

-8

1976

572

-4

18

-4

-7

1977

576

-3

4

-14

-10

1978

586

-2

10

6

20

1979

594

-1

8

-2

-8

1980

586

0

-8

-16

-14

1981

590

1

4

12

28

1982

580

2

-10

-14

-26

1983

606

3

26

36

50

1984

607

4

1

-25

-61

1985

605

5

-2

-3

22

1986

600

6

-5

-3

0

1987

604

7

4

9

12

1988

590

8

-14

-18

-27

1989

596

9

6

20

38

1990

597

10

1

-5

-25

Серед­

нє

ариф­

метич­

не

568,04

7,25

-1,63

0,33


Середнє арифметичне скінченних різниць третього порядку дорівнює 0,33 і наближається до нуля, а тому скінченні різниці другого порядку будемо вважати практич­но рівними між собою. Таким чином, основну тенденцію динаміки виробництва сталевих труб можна описати пара­болою другого порядку (3.34).

Після відповідних, обчислень дістаємо:

Серед показників динаміки, обчислених на підставі аналітичного вирівнювання, найпоширенішими є такі:

а) середньорічний приріст

б) середньорічне прискорення

в) темп зростання

де - рівні ряду динаміки; я- число рівнів ряду; t = 1,2,.., n;

b = 2 у рівнянні

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]