39. Уравнения Лагранжа 2 рода для консервативных систем. Кинетический потенциал.

Если все силы системы потенциальны, то обобщенные силы системы выражаются через потенциальную энергию системы как Q_j = -дП / дq_j, а уравнения Лагранжа второго рода запишутся в виде

Так как потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей, то . Введем в рассмотрение функцию

L = T - П

(4)

которую называют функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Тогда уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил запишутся так:

(5)

Если среди сил системы вместе с потенциальными присутствуют непотенциальные силы, например силы трения, то обобщенные силы системы складываются из обобщенных потенциальных сил Q_jⁿ = -дП / дq_j и обобщенных непотенциальных сил Q_j, а уравнения (3) принимают вид

(6)

40. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Основная теорема удара. Свойства удара.

Ударом будем называть кратковременное действие на тело некоторой силы . Силы, возникающей, например, при встрече двух массивных тел.

Опыт показывает, что взаимодействие их очень кратковременно (время контакта исчисляется тысячными долями секунды), а сила удара довольно велика (в сотни раз превышает вес этих тел). Да и сама сила – не постоянна по величине. Поэтому явление удара - сложный процесс, сопровождающийся к тому же деформацией тел. Точное исследование его требует знания физики твердого тела, законов тепловых процессов, теории упругости и др.

Мы же воспользуемся довольно простыми методами исследования, но которые, как подтверждает практика, достаточно правильно объясняют явление удара.

Поскольку сила удара очень велика, а продолжительность его, время , мало, при описании процесса удара будем пользоваться не дифференциальными уравнениями движения, а теоремой об изменении количества движения. Потому что измеряемой конечной величиной является не сила удара, а импульс ее

Чтобы сформулировать первые особенности явления удара, рассмотрим сначала действие такой силы на материальную точку.

Пусть к материальной точке М, движущейся под действием обычных сил по некоторой траектории (рис.111), в какой-то момент была приложена мгновенная, большая сила . С помощью теоремы об изменении количества движения за время удара составляем уравнение где и - скорости точки в конце и в начале удара; - импульс мгновенной силы . Импульсами обычных сил, под действием которых точка двигалась, можно пренебречь – за время τ они будут очень малы.

Рис.111

 

Из уравнения находим изменение скорости за время удара (рис.111):

.

Это изменение скорости оказывается конечной величиной.

Дальнейшее движение точки начнется со скоростью и продолжится под действием прежних сил, но по траектории, получившей излом.

Теперь можно сделать несколько выводов.

1. При исследовании явления удара обычные силы можно не учитывать.

2. Так как время τ мало, перемещением точки за время удара можно пренебречь.

3. Единственный результат действия удара – только изменение вектора скорости.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе.

Изменение количества движения механической системы за время удара равно сумме внешних ударных импульсов, действующих на точки системы.

Доказательство. Разделим ударные силы, действующие на каждую точку механической системы, на внешние и внутренние. Запишем основное уравнение удара для каждой точки системы

, ,

где ,  равнодействующие внешних и внутренних ударных импульсов. Суммируя полученные равенства, с учетом свойства внутренних сил находим:

.

 

Следствие. При действии на механическую систему лишь внутренних ударных импульсов количество движения системы не изменяется.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе. Изменение кинетического момента механической системы относительно любого неподвижного центра за время удара равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно этого же центра.

.

Основное уравнение удара для каждой точки системы , . Так как положение точек системы за время удара не изменяется, то умножая на радиус-вектор -ой точки (рис. 18.1), можно записать , .

Суммируя полученные равенства,

.

Следствие. Внутренние ударные импульсы не влияют на изменение кинетического момента системы.

 

Теорема об изменении кинетического момента в скалярной форме. Изменение кинетического момента механической системы относительно неподвижной оси за время удара равно сумме моментов всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно той же оси.

.