11.1 Пересечение многогранника плоскостью

 Геометрическая фигура, получающаяся в результате пересечения многогранника плоскостью, называется сечением многогранника.

 Сечение представляет собой плоский многоугольник с внутренней областью. В частном случае эти многоугольники могут распадаться на несколько многогранников, вырождаться в прямые и точки.

 Сечение многогранника плоскостью можно построить двумя способами:

 1. По точкам пересечения с плоскостью ребер многогранника.  2. По линиям пересечения граней многогранника с плоскостью.  В первом случае задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью. Во втором случае - к определению линий пересечения плоскостей.  В ряде случаев целесообразно комбинированное применение обоих способов.

Пример построения сечений многогранников проецирующими плоскостями

 В случае пересечения многогранника проецирующей плоскостью задача решается довольно просто, т.к. одна проекция сечения вырождается в отрезок прямой, а вторая проекция сводится к многократному решению задачи на принадлежность.

 Рассмотрим построение сечения пирамиды SABCDE фронтально проецирующей плоскостью .

 Фронтальная проекция А'₂B'₂C'₂D'₂E'₂ сечения А'B'C'D'E' совпадает с выраженной проекцией секущей плоскости. Горизонтальные проекции А'₁, B'₁, C'₁, D'₁, E'₁, вершин сечения находится из условия принадлежности ребрам: А' SA, В' SB, C' SC, D' SD, E' SE.

Рисунок 5

Алгоритм графических построений:

1. Отмечаем точки А'₂, B'₂, E'₂, C'₂, D'₂ - точки пересечения плоскости с ребрами пирамиды.

2. Проводим линии проекционной связи из точек А'₂, B'₂, E'₂, C'₂, D'₂.

3. Отмечаем точки А'₁, B'₁, C'₁, D'₁, E'₁ - точки пересечения линий связи с горизонтальными проекциями ребер S₁A₁, S₁B₁, S₁C₁, S₁D₁, S₁E₁ и соединяем их.

4. Многоугольник А'₁B'₁C'₁D'₁E'₁ - первая проекция сечения А'B'C'D'E' пирамиды фронтально проецирующей плоскостью .

 Сечение пирамиды на плоскость П₁ проецируется с искажением. Для нахождения истинной величины сечения пирамиды необходимо преобразование чертежа. Построим истинную величину сечения ABCDE способом совмещения.

В качестве оси вращения примем горизонталь a₁. Горизонталь a₁ перпендикулярна П₂, Точка a₂ - точка пересечения плоскости с горизонталью a₁. Примем точку a₂ за центр вращения фронтальных проекций А₂, B₂, C₂, D₂, E₂. А"₁В"₁С"₁D"₁Е"₁ – натуральная величина сечения пирамиды.

Рисунок 6

11.2 Пересечение прямой с многогранной поверхностью

Прямая пересекает многогранную поверхность в нескольких точках, различных или совпадающих.

 Если многогранник выпуклый, то существует 2 точки пересечения прямой с многогранной поверхностью, их называют точками встречи.

Рисунок 7

 Алгоритм построения точек пересечения прямой с многогранной поверхностью:

1. Заключаем прямую a во вспомогательную плоскость .

2. Плоскость пересекает многогранник по ломаной KLP.

3. Ломаная KLP пересекается с прямой a в точках N и M. Точки N и M – искомые точки пересечения прямой a с многогранником.