15.2 Построение условной развертки
На рис. 5 изображены две проекции 1/4 части поверхности открытого тора(кольца). Для построения условной развертки такой поверхности необходимо разбить эту поверхность на несколько равных частей с помощью секущих плоскостей (меридиональных плоскостей), проходящих через ось вращения данной поверхности.
Поверхность разбита на 3 равные части (доли) плоскостями Δ, Δ′, Δ′′ (Δ2, Δ′2Δ′′2 – фронтальные следы этих плоскостей). Каждая часть аппроксимирована описанной цилиндрической поверхностью. Приближенная развертка строится для каждой части аппроксимированной поверхности отдельно.
Рисунок 5
На рис. 6 представлено построение условной развертки 1/3 части заданной поверхности, находящейся между плоскостями Δ, Δ′.
Рисунок 6
Через середину этой доли поверхности проведена нормальная плоскость Г, которая рассекла поверхность по среднему меридиану (рис.5). Этот меридиан необходимо разделить на 12 равных частей. На рис. 5 показано деление половины меридиана на 6 частей. Через точки деления 12 – 62 проведены концентрические дуги из центра О′′2 Через эти точки и точку 72 проведены касательно к каждой дуге фронтальные проекции образующих цилиндрической поверхности, описанной около данной части кольца, до пересечения с фронтальными следами Δ2, Δ′2 секущих плоскостей Δ, Δ′. Определены точки A2, B2, C2, D2, E2, F2, N2, A′2, B′2, C′2, D′2, E′2, F′2, N2′. Фронтальная проекция среднего меридиана мысленно повернута до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций; определена горизонтальная проекция среднего меридиана и точки 1′1, 2′1, 3′1, 4′1, 5′1, 6′1 - горизонтальные проекции точек деления. Если спрямить средний меридиан в отрезок прямой, и через точки деления перпендикулярно к нему построить образующие описанной цилиндрической поверхности, то, соединив крайние точки на образующих плавными кривыми, можно получить условную развертку 1/3 части заданной поверхности (рис. 6).
На линии а отложено вверх и вниз от точки 10 по шесть одинаковых отрезков, равных длинам хорд 1′12′1; 2′13′1 и т.д. Через каждую точку проведены прямые, перпендикулярные прямой а, и на них влево от прямой а отложены отрезки: 10А0=12А2; 20В0=22В2 и т. д, а вправо от прямой а - отрезки:10А′0=12А′2, 20В′0=22В′2 и т. д. Полученные точки соединены плавными кривыми. Нижняя часть развертки строится аналогично верхней. Чтобы получить полную развертку, необходимо к построенной фигуре пристроить еще две такие же фигуры.
16 Касательные линии и плоскости к поверхности
Касательной к поверхности в некоторой ее точке называют прямую, касательную к какой-либо кривой на поверхности, проходящей через данную точку.
Рисунок 1
Очевидно, в данной точке М поверхности Θ можно провести бесчисленное множество касательных прямых ti. Множество касательных ti, проведенных к поверхности в некоторой ее точке М, принадлежит плоскости S, если точка М является регулярной точкой поверхности. Если точка М будет особой точкой поверхности Θ, то множество касательных ti образует поверхность конуса в этой точке. Касательной плоскостью к поверхности ее в регулярной точке называют плоскость, содержащую множество касательных, проведенных к всевозможным кривым поверхности, проходящим через эту точку.
Касательная плоскость S к поверхности Θ в точке М однозначно определяется двумя касательными t11 и t2, проведённым к кривым а и b поверхности Θ, проходящими через точку М (рис. 1).
С понятием касательной плоскости тесно связано понятие нормали к поверхности.
Нормалью n поверхности Θ в некоторой ее точке М называют прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную касательной плоскости, построенной в этой точке.
Касательная плоскость может пересекать поверхность по действительной или мнимой кривой.
Рисунок 2
Например, на рис. 2 показана касательная плоскость S в точке М, принадлежащая горлу однополостного гиперболоида. Она пересекает поверхность по двум прямым l1 и l2.
Для построения касательной плоскости и нормали в заданной точке М необходимо:
- на поверхности взять две линии, проходящие через точку М;
- провести касательные в точке М к выбранным линиям; две пересекающиеся касательные определяют касательную плоскость;
- провести перпендикуляр к касательной плоскости в точке М.
Если исходная поверхность коническая или цилиндрическая, то касательная плоскость касается поверхности в точках всей образующей, поэтому достаточно взять одну кривую на поверхности.