3 Проверка гипотез равенства двух случайных величин, имеющих нормальное распределение

Пусть исследуются две случайные величины X и Y, причем обычно предполагается, что обе они имеют нормальное распределение: X  N(a₁, ₁), Y  N(a₂, ₂).

В качестве нулевой гипотезы рассмотрим гипотезу о равенстве математических ожиданий исследуемых величин H₀: a₁ = a₂. В таблице 5 приведены решающие правила для проверки подобного рода гипотез.

Таблица 5 – Решающие правила для проверки гипотез о равенстве математических ожиданий двух случайных величин

Дисперсия	Критерий	Распределение критерия	Альтернативная гипотеза	Условие отклонения нулевой гипотезы
1 и 2 известны		Стандартное нормальное		, или
1 и 2 неизвестны, 1 = 2		Стьюдента с степенями свободы		, или

Пример 3 На станции Могилёв-2 произведена реконструкция сортировочной горки: механизирована операция торможения вагонов при скатывании их с горки на пути сортировочного парка, установлены две централизованные тормозные позиции. Необходимо оценить эксплуатационную эффективность новой технологии по сравнению с прежней, когда торможение производилось вручную регулировщиками скорости движения вагонов. С этой целью собраны данные о дополнительных затратах времени за сутки на осаживание вагонов в сортировочном парке. Сбор данных производился в течение 60 дней до реконструкции и 60 дней после реконструкции.

Предположим, что дополнительные затраты времени за сутки на осаживание вагонов в сортировочном парке по старой и новой технологиям соответственно являются нормально распределенными случайными величинами X  N(a₁, ₁), Y  N(a₂, ₂), причем a₁ и a₂ неизвестны, ₁ и ₂ неизвестны, но предполагается ₁ = ₂.

Пусть также по имеющимся выборкам получены точечные оценки математических ожиданий и среднеквадратических отклонений этих случайных величин мин, мин, мин, мин, ( и  – точечные оценки a₁ и a₂ соответственно).

Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий H₀: a₁ = a₂ против альтернативной H_a: a₁ > a₂. Найдем значение статистики:

По таблицам квантилей распределения Стьюдента (см. приложение Б) для числа степеней свободы  = n₁ + n₂ – 2 = 60 + 60 – 2 = 118 находим t_0,05; 118   1,658. Так как t = 3,194 > t_0,05; 118 = 1,658, нулевая гипотеза отклоняется на заданном уровне значимости, т. е. собранные данные позволяют утверждать, что внедрение новой технологии привело к уменьшению затрат времени за сутки на осаживание вагонов в сортировочном парке.

Порядок выполнения работы

1 Изучить теоретические сведения.

2 Записать на диск две выборки случайных величин, которые требуется исследовать (см. приложение А, п. 2).

3 По одной из выборок и заданному значению математического ожидания провести проверку гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению против предложенного вида альтернативной гипотезы:

– вручную рассчитать значение выборочной статистики и сравнить его с критическим значением;

– с помощь процедуры «One-Sample Analysis» пакета Statgrafics (приложение А, п. 7).

4 По двум выборкам провести проверку гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормально распределенных случайных величин против предложенного вида альтернативной гипотезы:

– вручную рассчитать значение выборочной статистики и сравнить его с критическим значением;

– с помощь процедуры «Two-Sample Analysis» пакета Statgrafics (приложение А, п. 8).

5 Сделать выводы.

Контрольные вопросы

1 Что называется статистической гипотезой?

2 Дайте определение параметрической и непараметрической статистических гипотез.

3 Что такое нулевая и альтернативная гипотезы?

4 Что называется статистическим критерием?

5 Что называется уровнем значимости статистического критерия?

6 Что называется областью допустимых значений статистического критерия?

7 Сформулируйте правило принятия решения на основании выборочного значения статистического критерия.