22) Метод множителей Лагранжа, решение задач на условный экстремум

Лагранжа метод множителей, метод решения задач на условный экстремум; Л. м. м. заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции — т. н. функции Лагранжа. Для задачи об экстремуме функции f (х₁, х₂,..., х_п) при условиях (уравнениях связи) j_y(x₁, x₂ . х_n)= 0. i= 1, 2,..., т, функция Лагранжа имеет вид

Множители y₁, y₂, … ,y_n наз. множителями Лагранжа. Если величины x₁, x₂ … х_n, y₁, y₂, … ,y_n суть решения уравнений, определяющих стационарные точки функции Лагранжа, а именно, для дифференцируемых функций являются решениями системы уравнений

то при достаточно общих предположениях x₁, x₂ … x_n, доставляют экстремум функции f. Функция Лагранжа L применяется также при исследовании задач вариационного исчисления и математического программирования. Впервые Л. м. м. был предложен в 1797 Ж. Лагранжем в связи с задачами дифференциального исчисления.

Метод множителей Лагранжа. Если уравнение не разрешимо ни относительно , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа . Необходимым условием существования условного экстремума функции при условии является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:

23) Экстремум функции трех переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум.

Условные экстремумы. Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой области и в этой области задана кривая уравнением φ(x,y)=0. Условным экстремумом функции двух переменных z = f(x,y) называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить у = у(x), то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной z = f(x,y(x))

Теорема. Если в точке N(x₀;y₀) дифференцируемая функция z=f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f’_Х(х₀;у₀)=О, f'_у(х₀;у₀)=О. Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у₀. Тогда получим функцию f(x;у₀)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = хО. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной,φ’(х₀) = 0, т. е. f'х(х0;у0)=0. Аналогично можно показать, что f’_у(х₀;у₀) = 0. Геометрически равенства f'_х(х₀;у₀)=О и f'_у(^х₀;у₀)=О означают, что в точке экстремума функции z=f(x;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z₀.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z=ху. Для нее точка O(0; 0) является критической (в ней z'=y и z' — х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=xy не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки 0(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей). Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию. Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (х₀;у₀) и некоторой ее окрестности функция f(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (x₀;y₀) значения A=f''_xx(x₀;y₀), В=f''_xy(х₀;у₀), C=f'' yy(^хо^;Уо)- Обозначим

Тогда:

1. если ∆ > 0, то функция f(х;у) в точке (x₀;y₀) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если ∆ < 0, то функция f(х;у) в точке (х₀;у₀) экстремума не имеет.

В случае ∆ = 0 экстремум в точке (x₀;y₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.