34)Числовой ряд. Задание числового ряда. Частичные суммы. Сходимость и расходимость ряда

Рядом называется сумма бесконечного числа слагаемых. Слагаемые могут быть вещественными числами, комплексными или функциями кого-нибудь аргумента.

Если слагаемые являются числами, ряд называется числовым, и тогда его можно записать в следующем виде а₁+а₂+а₃+. .+a_n

Частичной суммой ряда называется сумма первых n-слагаемых этого ряда. С рядом можно связать последовательность частичных сумм: S₁=a₁; S₂=a₁+a₂; …; S_n=a₁+a₂+. .a_n.Эта бесконечная последовательность может иметь прел, а может и не иметь. Если последовательность частичных сумм имеет предел, то говорят, что ряд сходится и это предел называется суммой ряда S=limS_n (над равно def, предел n стремиться к ∞). Если последовательность частичных сумм не имеет предела то ряд называется расходящимся.

35)Геометрическая прогрессия. Сходимость и расходимость геометрической прогрессии.

Ряд из геометрической прогрессии это ряд вида a₀+a₀q+a₀q²+…+a₀q^n-1+…

Рассмотрим частичную сумму S_n= a₀+a₀q+a₀q²+…+a₀q^n-1

qS_n=a₀q+a₀q²+…+a₀qⁿ

qS_n=S_n+1-a₀

qS_n=S_n-a₀qⁿ-a₀

S_n(q-1)=a₀(qⁿ-1)

S_n=(a₀(qⁿ-1))/(q-1)

S=lim(a₀(qⁿ-1))/(q-1) n→∞

Если |q|<1 ряд сходится S=a0/(1-q)

Если |q|=1 ряд расходится

Если |q|>1 ряд расходится

38) Необходимый признак сходимости числового ряда. Достаточный признак расходимости числового ряда.

Для установления сходимости/расходимости ряда используют признаки сходимости. Различают необходимый и достаточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости предполагает, что ряд сходится и формулирует условие, которому должно удовл. поведение n-ого члена ряда в зависимости от n.

Достаточный признак формулирует условие на поведение n члена ряда которые характеризуют сходимость ряда.

39) Признак сравнения и предельный признак сравнения числовых рядов с положительными членами.

Пусть 2 ряда с положительными членами a1+a2+a3+ (I) и b1+b2+b3+ (II) удовлетворяют условию an<=(меньше или равно)bn. 1) если ряд 2 сходится, то сходится и ряд 1 2) если расходится ряд 1, то расходится и ряд 2.

Поскольку по условию ряд 2 сходится, то плоскость Sn должно быть ограничена сверху, т.е. S_n’≤M, отсюда следует что и S_n ≤M т.е. частичная сумма ряда S_n ограничена сверху. lim S_n=∞; lim S_n’=∞ж(для всех n→∞)

Предельный признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этого ряда равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

40)Достаточные признаки сходимости: 1) признак Даламбера; 2) радикальный признак Коши; 3) интегральный признак Коши

1 Пусть дан ряд с положительными членами а₁+а₂+. .+a_n+… Предположим, что существует предел отношений последующего члена ряда к предыдущему ρ=Lim a_n+1/a_n тогда 1)если ρ<1 то ряд сходится 2) если ρ>1 то ряд расходится 3) ρ=1 требуется дополнительные исследования

2 Пусть дан ряд с положительными членами и пусть существует предел а₁+а₂+. .+a_n+… l=lim √ⁿa_n тогда если 1) l<1 ряд сходится 2)l>1 ряд расходится 3) l=1 другой признак

3 Пусть дан ряд с положительными членами а₁+а₂+. .+a_n+… Предположим, что существует функция f(x) определенная на отрезке [1;∞) такая, что члены нашего ряда равняются значениям этих функций в этих точках a_n=f(n); n=1,2,3… Тогда 1) если сходится то и ряд тоже сходится 2) если расходится то ряд тоже расходится