24) Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
Условные экстремумы. Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой области и в этой области задана кривая уравнением φ(x,y)=0. Условным экстремумом функции двух переменных z = f(x,y) называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить у = у(x), то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной z = f(x,y(x))
Метод множителей Лагранжа. Если уравнение не разрешимо ни относительно , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа . Необходимым условием существования условного экстремума функции при условии является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:
25) Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл. Теорема существования двойного интеграла.
Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f (х,у)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D. Такая фигура называется цилиндрическим телом.
Метод множителей Лагранжа. Если уравнение не разрешимо ни относительно , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа . Необходимым условием существования условного экстремума функции при условии является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:
Объём цилиндрического тела можно вычислить приближённо, заменив его ступенчатой фигурой следующим образом.
1.
Область D
произвольным
образом разбивается на конечное число
п элементарных областей (ячеек) D1,
D2....,
Dn,
площади
которых обозначим соответственно AS,
AS2
ASn.
Диаметром
ячейки называют наибольшее расстояние
между двумя точками на её границе и
обозначают diamDi.
Выберем
в каждой ячейке Di
произвольную
точку
и вычислим в ней значение
.
Составим сумму вида:
Каждое
слагаемое в сумме вычисляет объём
прямого цилиндра с основанием Di
и
высотой
.
Сумма
называется интегральной cумой
для функции f(x,y)
по
области D.
Предел
интегральной суммы (1) при шах
называется
двойным интегралом от функции f(x,у)
по области D:
В обозначении двойного интеграла D-область интегрирования f(x,y) - подынтегральная функция, dS-дифференциал площади, который можно заменить произведением дифференциалов независимых переменных dxdy. Формула (2) позволяет вычислить объём цилиндрического тела при f(x,y)>0, в чём и заключается геометрический смысл двойного интеграла. В общем случае, если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует (существует предел интегральной суммы (2)) и не зависит от способа разбиения области D на частичные и от М,(х,,у,) выбора точек в них. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля", а также ссылки на теоретический материал, необходимый для выполнения этих контрольных работ и список рекомендуемой литературы. В результате изучения этих тем студенты должны: о знать определения основных понятий теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных (ФНП): частные производные, полный дифференциал и др