- •11) Линейные однородные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •12) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
- •13) Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •14) Функции двух переменных
- •15) Частные производные.
- •16) Полный дифференциал функции нескольких переменных.
- •17)Производные и дифференциалы высших порядков
- •20) Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума
- •21) Условный экстремум. Сведение задачи на условный экстремум к задаче не безусловный
- •22) Метод множителей Лагранжа, решение задач на условный экстремум
- •23) Экстремум функции трех переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум.
- •24) Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •25) Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл. Теорема существования двойного интеграла.
- •26) Вычисление двойного интеграла: повторный или двукратный интеграл
- •27) Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.
- •28) Замена переменных в двойном интеграле
- •29) Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •3 0) Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
- •31) Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах: повторный и троекратный интеграл.
- •32) Замена переменных в тройном интеграле
- •33)Свойства тройного интеграла
- •34)Числовой ряд. Задание числового ряда. Частичные суммы. Сходимость и расходимость ряда
- •35)Геометрическая прогрессия. Сходимость и расходимость геометрической прогрессии.
- •38) Необходимый признак сходимости числового ряда. Достаточный признак расходимости числового ряда.
- •39) Признак сравнения и предельный признак сравнения числовых рядов с положительными членами.
- •40)Достаточные признаки сходимости: 1) признак Даламбера; 2) радикальный признак Коши; 3) интегральный признак Коши
- •41)Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов.
- •42)Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
- •43)Свойства сходящихся числовых рядов.
20) Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной. Пусть функция z = f(х;у) определена в некоторой области D, точка N(xQ;y0) I D. Точка (xQ;y0) называется точкой максимума функции z=/(x;y), если существует такая d- окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство f(х;у)</(хо;уо).
Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (xQ;yo) выполняется неравенство: f(х;у)>/(х„;у„).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f’Х(х0;у0)=О, f'у(х0;у0)=О. Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у0. Тогда получим функцию f(x;у0)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = хО. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной,φ’(х0) = 0, т. е. f'х(х0;у0)=0. Аналогично можно показать, что f’у(х0;у0) = 0. Геометрически равенства f'х(х0;у0)=О и f'у(х0;у0)=О означают, что в точке экстремума функции z=f(x;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z0.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z=ху. Для нее точка O(0; 0) является критической (в ней z'=y и z' — х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=xy не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки 0(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей). Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию. Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (х0;у0) и некоторой ее окрестности функция f(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (x0;y0) значения A=f''xx(x0;y0), В=f''xy(х0;у0), C=f'' yy(хо;Уо)- Обозначим
Тогда:
1. если ∆ > 0, то функция f(х;у) в точке (x0;y0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2. если ∆ < 0, то функция f(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
В случае ∆ = 0 экстремум в точке (x0;y0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
21) Условный экстремум. Сведение задачи на условный экстремум к задаче не безусловный
Условные экстремумы. Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой области и в этой области задана кривая уравнением φ(x,y)=0. Условным экстремумом функции двух переменных z = f(x,y) называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить у = у(x), то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной z = f(x,y(x))