15) Частные производные.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных   в точке   частные производные определяются так:

, ,если эти пределы существуют. Величина   называется частным приращением функции z в точке по аргументу .

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная -угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке. Пользуясь понятием с корости изменения переменной, можно сказать, что частная производная есть скорость изменения функции относительно при постоянном .

Частные дифференциалы.

Приращение, которое получает функция Z=f(x, y), когда изменяется только одна из переменных, называется частным приращением функции по соответствующей переменной: Δ_xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), Δ_yZ=f(x,y+Δy)-f(x,y). Частным дифференциалом по х функции Z=f(x, y) называется главная часть частного приращения Δ_xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), пропорциональная приращению Δx независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е. Δ_yZ=f(y+Δy,x)-f(x,y). Дифференциалы независимых переменных х и у просто равны их приращениям, т.е. dx=Δx, dy=Δy. Частные дифференциалы обозначаются так: d_xZ -частный дифференциал по х, d_yZ - частный дифференциал по у. При этом:

Таким образом, частный дифференциал функции двух независимых переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной.

Таким же образом, как для функции двух переменных, определяются частные приращения и частные дифференциалы функций любого числа независимых переменных.

16) Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Функция Z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке P(x,y), если ее полное приращение ΔZ можно представить в виде Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), где Δx и Δy – любые приращения соответствующих аргументов x и y в некоторой окрестности точки Р, А и В – постоянные (не зависят от Δx,Δy),

 ω(Δx,Δy) – бесконечно малое более высокого порядка, чем расстояние:

Если функция дифференцируема в точке, то ее полное приращение в этой точке состоит из двух частей :

1.      Главной части приращения функции A∙Δx+B∙Δy – линейное относительно Δx,Δy

2.      И нелинейное ω(Δx,Δy) – бесконечно малое более высокого порядка, чем главная часть приращения.

Главная часть приращения функции – линейная относительно Δx,Δy называется полным дифференциалом этой функции и обозначается: Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx и Δy=dy или полный дифференциал функции двух переменных:

17)Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом, f"(x)=(f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак, f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))', n ϵ N, f⁽⁰⁾(x) = f(x). Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом, dⁿf(x)=d(d^n-1f(x)), d⁰f(x) = f(x), n ϵ N. Если x - независимая переменная, то dx=const и d²x=d³x=...=dⁿx=0. В этом случае справедлива формула dⁿf(x)= f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

18) Достаточные условия дифференцируемости.

Если функция Z=f(x,y) дифференцируема в точке P(x,y), то она имеет в точке Р первые частные производные:

Теорема 2:

Если же частные производные непрерывны  в окрестности точки Р, то эта функция дифференцируема, т.е существует дифференциал.

19) Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции  , т.е. .

Если функции  непрерывны в некоторой односвязной области  , то условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение было полным дифференциалом функции  .

Если известна функция, полным дифференциалом которой является левая часть  уравнения (1), то все решения этого уравнения имеют вид  , где  - произвольная постоянная. Чтобы найти функцию   нужно воспользоваться равенствами

. (2)

Интегрируя первое из этих равенств по x, определим функцию   с точностью до произвольной дифференцируемой функции переменного y: , (3) где - произвольная дифференцируемая функция. Функция , такая что  . Дифференцируя (3) по y, с учетом второго равенства из (2) получаем уравнение для определения  : .