11.Матрицы парных сравнений
1.Понятие о матрицах парных сравнений
После построения иерархии производится сравнение значимости ее элементов. Сравнение этих элементов производится с помощью матриц парных сравнений, которые имеют следующий вид (рис.9.1).
Рис.9.1. Матрица парных сравнений
Матрицы парных сравнений строятся следующим образом. Обозначим через , сравниваемую пару элементов, (k =0, 1, 2, …, q), q – общее число уровней иерархии; i – номер элемента, который сравнивается с элементом, имеющим номер j на том же (k+1) уровне иерархии (i,j = 1, 2 … N), N – число элементов на (k+1) уровне иерархии.
Обозначим через аij число, соответствующее значимости элемента по сравнению с относительно элемента , расположенного на вышестоящем k-том уровне иерархии. Элемент является в данном случае критерием доминирования элемента над , т.е. какой из двух сравниваемых элементов важнее, предпочтительнее, более вероятен, имеет большее воздействие. Тогда матрицу парных сравнений можно представить так:
,
(.1)где
k – номер вышестоящего уровня иерархии;
n
– номер элемента
на
k-том
уровне, относительно которого определены
оценки аij
элементов
и
нижестоящего (k+1)-го
уровня иерархии;
i
и j
– порядковые номера соответственно в
строке и столбце матрицы
.
Матрица (9.1) обладает
свойством обратной симметрии, т.е.
(9.2)
2.Шкала отношений
Для определения оценок aij будем использовать шкалу отношений, представленную в виде таблицы 9.1. Данная шкала позволяет аналитику ставить в соответствие степеням предпочтения (доминирования) одного сравниваемого элемента иерархии перед другим некоторые числа от 1 до 9
Шкала отношений (степени значимости действий) Табл.9.1
3.Правила заполнения матрицы парных сравнений
Заполнение матрицы
(9.1) осуществляется по следующему правилу.
Если элемент
доминирует над элементом
,
то клетка матрицы, соответствующая
строке
и столбцу
,
заполняется целым числом из таблицы
отношений (9.1), а клетка, соответствующая
строке
и столбцу
,
заполняется обратным к нему числом в
соответствии с формулой (9.2). Если элемент
доминирует над
,
то целое число ставится в клетку,
соответствующую строке
и столбцу
,
а дробь (9.2) проставляется в клетку,
соответствующую строке
и столбцу
.
Если элементы
и
равно
предпочтительны, то в обе позиции матрицы
ставятся единицы. Применение этого
правила будет показано на практическом
занятии. Для получения каждой матрицы
(9.1) аналитик выносит N(N-1)/2
суждений (экспертных оценок) (здесь N
– порядок матрицы парных сравнений).
12.Определение вектора приоритетов иерархии
1.Понятие о векторе приоритетов
После построения матрицы парных сравнений проводится ранжирование элементов (k+1)-го уровня иерархии. Это ранжирование осуществляется на основании вектора приоритетов X = (x1, x2, … xN), который определяется как главный собственный вектор матрицы парных сравнений из равенства:
,(10.1)
где
– максимальное
собственное значение матрицы
.