24.1 Задача Бюффона как пример использования случайных величин при решении детерминированной задачи.
В
18в. француз Граф Бюффон прадложил для
вычисления
с произволбным количеством знаков
использовать наблюдение за следующим
процессом.
Тонкая игла длинной 2l бросается случайным образом на поверхность разлинованную с шагом 2d.
Тогда
ситуация пересечение иглы с линией
будет соответствовать тому, что точка
с координатой (
)
будет лежать в заштрихованной области.
Рассмотрим
углы от 0 до
в силу симметричности.
Таким
образом рассмотрим прямоугольную
область
.
И
рассмотрим область
лежащая ниже
,
то вероятность возникновения пересечения
будет равна отношению
. В математическом плане если выбираем
без предпочтения координату
от
0 до
и координату y
из интервала
,
то это соответствует произвольной точки
,
и если выполняется условие
,
то точка будет находиться в точке
.
Величины:
=
=
Тогда
.
Как
известно при увеличении следует что:
,
где
есть
частота появления события. n-кол-во
опытов, m-кол-во
пересечений иглы с линией
При увеличении n получаем значение с большим количеством знаков.
Реализация в Mathcad: runif(a,b,N) – выдаёт n случайных величин с равномерном законом распределения. На отрезке от 0 до W – rnd(W).
Алгоритм:
1.Задать число экспериментов n и ограничить цикл от 0 до n(что будет соответствовать n опытов).
2.Обращаемся к функции runif(0, ,N).
3.Генерировать случайные величины от 0 до t.
4.Проверить
выполнения неравенства
.
Если выполняется то n+1.
5.После
проверки используем функцию
24.2 Пример использования сплайна для приближенного интегрирования функции
25.1 Понятие о методах типа Монте-Карло.
В 1943г. в исследовательских лабораториях Лос- Анджелесе при разработки ядерной бомбы возникла задача об определении глубины проникновения электронов в заданное вещество. Решить её не удалось. Тогда Станислав Улом и Ждон фон Нейманом предложили подход основную стратегию, которую используют игроки при игре в кости. Эта стратегия была стратегия была основана на поведении случайных величин. По имени города- это метод получил название Монте – Карло. В дальнейшим по традиции многие методы стали называться метод Монте – Карло.
Изобразим схему метода.
Заметим, что этот подход может использоваться, как для моделирования явлений имеющих в своей основе поведение случайных величин (такие величины называются - стохастическими) так и для явлений процессов, где случайные величины не присутствуют (детерминированные).
Вычисление обьемов и площадей при использовании стандартных методов основанных на … сетки по каждому из измерений в каждом узле которой требуется вычисление подинтегральной фу-ии с увиличением размерности пространства к-во вычислений растет.Альтернативой является следующая возможность
Заключаем область Ω в n-мерный параллепипед ,который полностью ее содержит.Сгенерируем отдельную точку имеющую n координат которых
и получено на этом интервале без предпочтения,т.е. случайная велечина Xi имеет на своем интервале равномерное распределение.В среде маткад встроенная функция rnd(A) возвращает массив случайных величин из интервала [0,А],т.о.если мы хотим сгенерировать массив случ.величин из интервала [а,в], то нужно записать rnd(в-а).Заметим,что для того.чтобы выполнить эти вычисления необходимо1)иметь возможность найти по каждому измерению «низшую» и «высшую» точку области.2)уметь ответить на ворос попала ли точка со случайными координатами в область.
Фрагмент документа маткад:
ORIGIN:=1,
Ab(x,y):=x,
Cd(x,y):=y
X:=0,y=0,
f(x,y):=x-y
+4
g(x,y):=x + y +x+y-25
Given
f(x,y)>0,
f(x,y)<0,
z:=Minimaze(AB,x,y)
a:=Ab(z1,z2)
b:=Ab(z1,z2)
b:=4.55
