12.1 Пример получения математической модели для двух массовой колебательной системы

q ₁ – линейное перемещение верхней массы

q₂ – нижней

q_1, q₂ – абсолютное перемещение (от земли)

- уровень земли

Выразим удлинение упругих элементов конструкции и Найдём:

12.2 Интерполирование на основе формулы Лагранжа

Один из наиболее распространенных способов построения интерполяционного полинома.

Введем предварительно в рассмотрение так называемые полиномы влияния .

Этот полином должен удовлетворять следующим условиям:

1. степень полинома должна быть равна (n-1);

2. 

Очевидно, что полином степени (n-1) , равный нулю во всех узлах кроме i- того, имеет вид:

Остается определить константы С из условия

Полином Лагранжа обычно обозначают .

Очевидно, что

Рассмотрим два частных случая полинома Лагранжа:

1. Пусть имеется таблица из двух точек

Тогда интерполирующий полином будет выглядеть

Это так называемый случай линейной интерполяции, поскольку данное уравнение - это уравнение прямой.

2. Пусть имеется таблица из n=3 точек

Такое приближение называется параболическим или квадратическим (так как данное уравнение- уравнение параболы).

Рассмотрим пример.

Пусть задана таблица

13.1 Математическая модель колебательной системы с вращательными степенями свободы

q ₁- смещение корпуса автомобиля массой m₂ в вертикальном направлении относительно дороги

q₂ – угол поворота рамы автомобиля отсчитываемый от дороги относительно центра тяжести

q₃- перемещение массы m₁ отсчитываемое от рамы автомобиля

Выразим абсолютное перемещение абсолютные скорости и удлинения пружин и скорости удлинения демпферов. Будем при этом считать колебания малыми т.е. угол поворот q ₂ <<1.

13.2 Пример документа MathCad реализующий поточечную среднеквадратичную аппроксимацию

поточечная среднквадаичная аппроксимция

x и y координаты узлов

длина массива x

Cистема базисных фукций

Вычисление коэф на основе функции Minimize пример

для функции 2ух пременных

x и y координаты узлов

базисные

начальное зачение для неизв коэф

14.1 Некоторые примеры MathCad для решения различных задач

14.2 Остаточный член формулы Лагранжа, пример оценки точности интерполирования с использованием остаточного члена

Интерполяционная формула Лагранжа это один из наиболее распространенных способов построения интерполяционного полинома. Пусть имеем функцию:

зависит от расположения узлов на интервале интерполирования. Для сравнения приведем значения и соответствующей таблицы: ln(2,5)=0,9163.

Пусть f(x) – интерполируемая функция. Заменим эту функцию полиномом Лагранжа: f(x)=L_n-1+R(f,x). R(f,x) – остаточный член формулы Лагранжа, который представляет собой погрешность метода интерполяции. При выполнения вычисления, результаты отдельных арифметических операций округляются или отсекаются из разряда, поэтому при построении интерполяционного полинома кроме погрешности метода будет присутствовать еще вычислительная погрешность. Можно доказать следующие утверждение: если функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполирования x₁, x₂, …., x_n, то такая что , где w_n(x)= . Пусть M_n= , . Понятно, чтобы использовать эту теорему нужно иметь возможность взять производную . Интерполяционный полином можно построить единственным образом по данным таблицы. Остаточный член R(f,x) всегда имеет один и тот же вид.