22.2 Кубические сплайны дефекта 1

Это сплайны, которые произошли от гибкой линейки чертёжника при этом в узлах непрерывна должна быть 1-ая и 2-ая производная.

уравнение изогнутой оси балки, когда заданы изгибные моменты в каждой точке. По аналогии 2-ые производные будем называть моментами.

Пусть в n попарно различных точках отрезка [a,b] a<x₁<x₂<x_3….x_n=b

y₁=f(x₁)…. Y_n=f(x_n)

непрерывен на [a,b] вместе с 1-ой и 2-ой производной, совпадает с кубическим полиномом на каждом из отрезков и удовлетворяет условиям i=1..n

Поскольку 2ая производная по условию в каждом узле непрерывна, то введя обозначения i=1,2…n и предположив, что меняется линейно на интервале можно записать (1)

Проинтегрируем дважды (1). Интегрирование будем выполнять со скобкой. Тогда после 1-го интегрирования получим (2)

А после второго интегрирования получим

(3)

Это выражение мы получили для отрезка , аналогичное выражение мы можем получить для предыдущего отрезка

(4)

Используя условие непрерывности 1-ой производной для узла x_i

Для этого приравняем (2) при x=x_i к выражению (4) при x=x_i . В результате получим

(5)

(6)

(7) i=2,3…n-1

Т.е. мы получили n-2 линейных алгебраических уравнения относительно M_i

Для замыкания этой системы нужно задать 2 дополнительных уравнения. Эти уравнения можно получить используя условие на концах интервала [a,b] (краевые условия)

1.Периодический сплайн T=b-a.

При этом предполагается, что интерполируемая функция периодическая с T=b-a и поэтому сам сплайн тоже должен быть периодическим с таким же периодом. Запишем условия периодичности:

Тогда можно потребовать, чтобы уравнение (7) было справедливо и для i=n, а условие периодичности примет вид

Тогда уравнение (7) примет вид

(8)

2.Непериодический сплайн с заданными наклонами в т a и b

заданное число

заданное число

Запишем уравнение (2) при i=1

Если записать уравнение (3) при i=n

Тогда замыкающая система примет вид

(9)

Решив системы 8 и 9 можно найти неизвестные M₁…..M_n и можем построить сплайн в соответствии с формулой (3)

В некоторых случаях более удобно записывать сплайн в виде набора коэффициентов кубических полиномов вида

, где

i=1,2..n-1

23.1 Использование случайных величин при моделировании различных явлений и процессов

Если в к-1 явлении (процессе) присутствуют случайные величины, то оно называется стохастическим, в противном случае процесс называется детерминированным. Случайные величины могут использоваться как при моделировании стохастических явлений так при моделировании детерминированных. Основная идея обычно заключается в том, чтобы сконструировать такой умозрительный процесс поведение которого описывается теми же законами, которыми описывается поведение исходного процесса. Примером является решение задачи Бюффона (24.1)

23.2 Алгоритм «прогонка» для решения системы линейных уравнений с диагональным преобладанием.

Рассмотрим для определенности систему линейных уравнений для непериодического сплайна:

2M₁+M₂=C₁

aM₁+2M₂ +b₂M₃=C₂

...

a_n-1 ∙M_n-2+2M_n-1+b_n-1 ∙M_n=C_n-1

M_n-1+2M_n=C_n

Разрешим 1-ое уравнение относительно M₁:

M₁=p₁∙M₂+q₁ p₁₌ q₁=

Подставим M₁ во 2-ое уравнение и выразим M₂:

M₂= ∙ M₃+

p₂= q₂=

M₂= p₂∙ M₃+q₂

Продолжая процесс исключения и подставляя M_i-1= p_i-1∙ M_i+q_i-1 в уравнение

a_i ∙M_i-1+2Mi+b_i ∙M_i+1=C_i получим:

M_i = ∙ M_i+1 + , т.е. p_i и q_i равны:

p_i= _{-рекуррентные формулы для p и q. (1)}

q_i=

Продолжая этот процесс, получим для последнего уравнения:

M_n-1= p_n-1∙ M_n+q_n-1

M_n-1= -2M_n+C_n

Можно последовательно вычислить:

M_n= (2)

Далее можно последовательно вычислить:

M_n-1= p_n-1∙ M_n+q_n-1

M_n-2= p_n-2∙ M_n-1+q_n-2 (3)

и т. д.

Т.о. алгоритм «прогонка» состоит из двух частей: прямой и обратный ход.

В прямом ходе сначала задаем p₁ и q_1, затем по рекуррентным формулам вычисляем прогоночные коэффициенты.

Обратный ход: сначала по формуле (2) вычисляем M_n , а затем по формулам (3) вычисляют M_n-1, M_{n-2, …,} M_1.

Оказывается, метод «прогонка» не приводит к накоплению ошибок округления при вычислении. Такие методы называются численно устойчивыми.

Сформируем систему для случая периодического сплайна:

Из формул

M₁=M_n

a_i ∙M_i-1+2Mi+b_i ∙M_i+1=C_i , i=2,3,…,h-1.

M_n+1= M₂ (h_n=h₁)

при i=2, M₁=M_n получим:

2M₂+b₂M₃+ a₂ M_n=C₂

a₃ M₂+2M₃+ b₃ M_n=C₃

… (4)

a_n-1 M_n-2+2M_n-1+ b_n-1 M_n=C_n-1

b_n ∙M_n-2+a_n M_n-1+ 2 M_n=C_n

Эти уравнения аналогичны рассмотренному выше приему и их можно переписать:

M_i= p_i∙M_i+1 +r_i∙M_n+q_i , i=2,3,…,n-1 (5)

Прогоночные коэффициенты опять вычисляются по (1) при условии, что p_i= q_i=0:

r_i = ,r₁=1 (6)

Полагая M_i=U_i∙M_n+V_i , i=2,3,…,n-1.

U_i=p_i∙U_i+1+r_i

V_i=p_i∙V_i+1+q_i

U_n=1 V_n=0

M_n=